黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022届高三上学期期末考试数学（文）含答案
2021—2022 学年度第一学期期末考试
高三数学(文科)试题
考试时间：120 分钟 分值：150
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给 出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 若
m+2i
1+i
(
i
为 虚 数 单 位 ) 是 纯 虚 数 ， 则 实 数
m=
( )
A.
−2
B.
0
C.
1
D.
2
2．已知命题
p:∃x∈R , x2−x+1≥0
，命题
q:
若
a<b
，则
a2<b2
，则下列命题为真命
题的是 ( )
A.
p∧q
B.
¬p∧q
C.
p∧¬q
D.
¬p∧¬q
3．若
tan α>0
，则( )
A.
cos α>0
B.
sin α>0
C.
cos 2 α>0
D.
sin 2 α>0
4．在正方体
ABCD−A1B1C1D1
中，
M , N
分别为棱
AA1, AB
的中点 ，则异面直线
MN
与
BC1
所成角的余弦值
( ) A
1
2
B
√
2
2
C
√
3
2
D
√
3
3
5. 若点 G 是
Δ ABC
的重心，则
⃗
GA +
⃗
GB +
⃗
GC =
( )
A.0 B.
⃗
0
C.
⃗
AC
D.
⃗
AB
6. 函数
f
(
x
)＝cos
x
－sin
x
在[0，
π
]上的单调递减区间是( )
A.
[π
2,3π
4]
B.
[0,π
2]
C.
[0,3π
4]
D.
[3π
4，π]
7．下列结论错误的个数是 （ ）
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 (2)若直线
a
∥平面
α
，
P
∈
α
，则过点
P
且平行于直线
a
的直线有无数条 (3)如果一个平面内的两条直线平行
于另一个平面，那么这两个平面平行. (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的
两条直线平行或异面
A. 0 B.1 C.3 D .2
8．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为 4π，则正方体的棱长为( )
A.B.C. D.
9.设命题 , ,则命题 成立是命题 成立的
(——)
A.—充分不必要条件——B.—必要不充分条件————————————
C.—充要条件————D.—既不充分也不必要条件
10.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为 1，则该几何体
的体积为（—— ）
A.— ————B.— ———C.— ————D.—
11 ．已 知 函数 lnx + 1, 若 存在 ,对任 意
，都有 ，则实数
a
的取值范围是( )
12.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先
提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行
平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知两
个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥，四棱锥，圆锥(高度都为
h
)，其中三棱锥的
底面是边长为
a
的正三角形，四棱锥的底面是边长为
b
，有一个角为
600
的菱形，圆锥的
体积为
V
，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的面积总相等，
那么，下列关系式正确的是 ( )
A.
a=
√
4
√
3V
h
b=
√
2
√
3V
h
，
a:b=
√
2: 1
B.
a=
√
4
√
3V
h
，
b=
√
2
√
3V
h
，
a:b=1:
√
2
C.
a=4
√
3V
h
，
b=2
√
3V
h
，
a:b=2: 1
D.
a=4
√
3V
h
，
b=2
√
3V
h
，
a:b=1: 2
Ⅱ 非选择题（共 90 分）
二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将正确答案填在答题卡的横线上.
13. 已知球 O 的半径为 1，则球的体积为-------
14 . x>0,y>0 若 x+y=5,则 xy 的最大值是----------
15． 已知平面向量 则
m
=_________.
16．在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1中，
AB
＝3，
AD
＝4，
AA
1＝2，则异面直线
AC
和
BC
1所成
角的余弦值是_________.
三．解答题本大题共 6 小 题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 为
的中点, 为 的中点.求证： 平面 ；
18.（12 分）
Δ ABC
的内角 A，B，C 的对边分别 为
a , b , c
，
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