《同步人教版高中物理必修二讲义》第章 习题课　运动的合成与分解应用

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习题课 1　运动的合成与分解应用
[学习目标]　1.[科学思维]理解小船过河模型的特点，会分析过河的最短时
间和最短位移问题．　2.[科学思维]会对“绳联物体”的速度进行分解，并能求
出分速度的大小．
　小船渡河模型及特点
1．模型特点：小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动 (站在岸
上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同．
(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行．船在
流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，
不能提供指向河对岸的分速度．因此，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图
可知，t短＝，此时船渡河的位移 x＝，位移方向满足 tan θ＝.
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽 d，此时渡河所用时间 t＝，船头与上游河岸夹角 θ满足
v船cos θ＝v水，如图甲所示．
甲
情况二：v水＞v船
如图乙所示，以 v水矢量的末端为圆心，以 v船的大小为半径作圆，当合速
度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为 α)，此时航程最短．
由图可知 sin α＝，最短航程为 x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成 θ′角，且
1
cos θ′＝.
乙
【例 1】　一小船渡河，河宽 d＝180 m，水流速度 v1＝2.5 m/s.船在静水中
的速度为 v2＝5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
[解析]　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂
直河岸时，如图所示，
合速度为倾斜方向，垂直分速度为
v2＝5 m/s.
t＝＝＝ s＝36 s
v合＝＝ m/s
x＝v合t＝90 m.
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸．船头应朝上游与
河岸成某一角度 β.
如图所示，由 v2sin α＝v1得α＝30°.所以当船头朝上游与河岸成一定角度 β
＝60°时航程最短．
x＝d＝180 m
t＝＝＝s＝24 s.
[答案]　(1)36 s　90 m
2
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