《高一物理40个经典专题（人教版必修第一册）》专题37 等时圆模型理解及应用 （原卷版）

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专题 37 等时圆模型及应用拓展
1、等时圆规律
（1）小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。如图 1所
示
（2）小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。如图 2所示
（3）沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，满足：
（R为圆的半径）
图1 图2
2、规律的证明
设有一条光滑弦与水平方向的夹角为 α，圆的直径为 d，如下图所示。根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为 a＝ ，位移为 s＝ ，所以运动时间为 t0＝
＝ ＝ 。
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时，我们应怎样处理此类问题呢？
1
图3 图4
[例题]如图 3所示，AB、AC、AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一
圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中
未画出），三个滑环分别从 A处从静止开始释放，用 依次表示滑环到达 B、C、D
所用的时间，则三个时间的关系？
一、单选题
1.（2019·泉州第十六中学高三月考）如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于 M
点，与竖直墙相切于 A点.竖直墙上另一点 B与M的连线和水平面的夹角为 60°，C是圆环轨道的圆心.已知
在同一时刻 a
、
b两球分别由 A
、
B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道 AM
、
BM 运动到 M点；c球由 C点自
由下落到 M点.则（ ）
A.a球最先到达 M点B.b球最后到达 M点
C.c球最后到达 M点D.b球和 c球都可能最先到达 M点
2.（2017·江西高安中学高三月考）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系 xOy，该平面内有
AM、BM、CM 三条光滑固定轨道，其中 A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此
圆与 y、x轴的切点。B点在 y轴上且∠BMO=60°，O′为圆心。现将 a、b、c三个小球分别从 A、B、C点同
时由静止释放，它们将沿轨道运动到 M点，所用时间分别为 tA、tB、tC，则 tA、tB、tC大小关系是（　　）
2
A.tB＞tC＞tA B.tB=tC＞tA C.tA=tB=tC D.tB＞tA=tC
3.（2018·黑龙江实验中学高三月考）如图，光滑细杆 BC、DC 和AC 构成矩形 ABCD 的两邻边和对角线，
AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC 杆竖直，各杆上分别套有一质点小球 a、b、d，a、b、d三小球的质量比为
1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则 a、b、d三小球在各杆上滑行的时
间之比为（ ）
A.1∶1∶1 B.5∶4∶3 C.5∶8∶9 D.1∶2∶3
4.（2019·普宁市第二中学高三月考）如图所示，在倾角为 =30º 的斜面上方的 A点处悬挂一光滑的木板
AB，B端刚好在斜面上.木板与竖直方向 AC 所成角度为 α，一小物块自 A端沿木板由静止滑下，要使物块
滑到斜面的时间最短，则 α角的大小为（　 　）
A.α=10º B.α= 15º C.α=30º D.α=60º
5.（2019·全国高一专题练习）如图所示，Oa、Ob 和ad 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，
O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心.每根杆上都套着一个小滑环，
两个滑环从 O点无初速释放，一个滑环从 d点无初速释放，用 t1、t2、t3分别表示滑环沿 Oa、Ob、ad 到达
a、b所用的时间，则下列关系不正确的是（ ）
3
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