《高一物理40个经典专题（人教版必修第一册）》专题37 等时圆模型理解及应用 （解析版）

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专题 37 等时圆模型及应用拓展
1、等时圆规律
（1）小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。如图 1所
示
（2）小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。如图 2所示
（3）沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，满足：
（R为圆的半径）
图1 图2
2、规律的证明
设有一条光滑弦与水平方向的夹角为 α，圆的直径为 d，如下图所示。根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为 a＝ ，位移为 s＝ ，所以运动时间为 t0＝
＝ ＝ 。
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时，我们应怎样处理此类问题呢？
1
图3 图4
[例题]如图 3所示，AB、AC、AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一
圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中
未画出），三个滑环分别从 A处从静止开始释放，用 依次表示滑环到达 B、C、D
所用的时间，则三个时间的关系？
解析：A不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的。可以采用如下的方法解决：如图 4
所示，过点 A作竖直线交 AB 的垂直平分线于点 O，以 O1为圆心、O1A为半径画圆交 AB 于
B、分别交 AC、AD 的延长线于 C1、D1。r.在圆 ABC1D1中用前面的结论可知，所以 t1> t2。不
可以根据 CC1< DD1，得到 t2< t3，因为小环进入虚线部分时初速度不一样，以后运动的加速度
也不一样。要判定 t2与t3的关系，可以模仿前面方法再次构造新圆用结论可知 t2>t3。
一、单选题
1.（2019·泉州第十六中学高三月考）如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于 M
点，与竖直墙相切于 A点.竖直墙上另一点 B与M的连线和水平面的夹角为 60°，C是圆环轨道的圆心.已
知在同一时刻 a
、
b两球分别由 A
、
B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道 AM
、
BM 运动到 M点；c球由 C点
自由下落到 M点.则（ ）
A.a球最先到达 M点B.b球最后到达 M点
C.c球最后到达 M点D.b球和 c球都可能最先到达 M点
【答案】B
【解析】设圆轨道半径为 R，a小球做匀加速直线运动，加速度设为
2
a1=gsin45°= ，
设时间为 t1，由运动学分式可得
联立可得
t1=
同理可求得 B的加速度大小
，
设滑到低端时间为 t2，由运动学公式可求得
联立可得:
t2=
C球做自由落体运动，设运动时间为 t3，由运动学公式
可得
比较以上数据可知 C最先落到 M点，A次之，B最后落在 M点。
2.（2017·江西高安中学高三月考）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系 xOy，该平面内有
AM、BM、CM 三条光滑固定轨道，其中 A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此
圆与 y、x轴的切点。B点在 y轴上且∠BMO=60°，O′为圆心。现将 a、b、c三个小球分别从 A、B、C点同
时由静止释放，它们将沿轨道运动到 M点，所用时间分别为 tA、tB、tC，则 tA、tB、tC大小关系是（　　）
3
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