黑龙江省鹤岗市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
2020 级高二学年下学期期中（数学）考试
一．单选题（共 8 小题，满分 40 分）
1．1．设等差数列{
an
}的前
n
项和为
Sn
，且
a
3+
a
7＝12，
a
8＝9，则
S
12＝（ ）
A．60 B．90 C．120 D．180
2．等比数列{
an
}中，若
a
5＝9，则 log3
a
4+log3
a
6＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
3．下列导数计算正确的是（ ）
A． B．
C．（
lnx
+
ex
）′＝
x
+
ex
D．（
x
cos
x
）´＝cos
x
﹣
x
sin
x
4．已知函数
f
（
x
）＝2
ex
﹣
ax
在[0，+∞）上单调递增，则实数
a
的取值范围为（
）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
5．若数列{
an
}满足：
a
1＝1，且
an
+1＝ ，则
a
7＝（ ）
A．19 B．22 C．43 D．46
6．设
a
＝tan92°，
b
＝π2，
c
＝
e
π，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（ ）
A．
c
＞
a
＞
b
B．
c
＞
b
＞
a
C．
a
＞
c
＞
b
D．
b
＞
a
＞
c
7．图 1 是一个水平摆放的小正方体木块，图 2，图 3 是由这样的小正方体木块叠放而
成的，按照这样的规律放下去，第 8 个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A．66 B．91 C．107 D．120
8．已知函数
f
（
x
）＝
x
3+
ax
2+
bx
+
c
，那么下列结论中错误的是（ ）
A．函数
y
＝
f
（
x
）的图象可以是中心对称图形
B．∃
x
0∈R，使
f
（
x
0）＝0
C．若
x
0是
f
（
x
）的极小值点，则
f
（
x
）在区间（﹣∞，
x
0）上单调递减
D．若
x
0是
f
（
x
）的极值点，则
f
′（
x
0）＝0
二．多选题（共 4 小题，满分 20 分）
9．已知等差数列{
an
}的公差为
d
，前
n
项和为
Sn
，且
S
9＝
S
10＜
S
11，则（ ）
A．
d
＜0 B．
a
10＝0 C．
S
18＜0 D．
S
8＜
S
9
10．下列不等式正确的是（ ）
A．当
x
∈R时，
ex
≥
x
+1 B．当
x
＞0 时，
lnx
≤
x
﹣1
C．当
x
∈R时，
ex
≥
ex
D．当
x
∈R时，
x
≥sin
x
11．已知数列{
an
}中的前
n
项和为
Sn
，若对任意的正整数
n
，都有
an
+1≤
Sn
，则称{
an
}为
“和谐数列”，下列结论正确的有（ ）
A．常数数列为“和谐数列”
B． 为“和谐数列”
C．{2
n
+1}为“和谐数列”
D．若公差为
d
的等差数列{
an
}满足{
an
+
n
}为“和谐数列”，则
a
1+
d
的最小值为﹣2
12．定义在（0，+∞）上的函数
f
（
x
）的导函数为
f
′（
x
），且
（
x
+1）
f
′（
x
）﹣
f
（
x
）＜
x
2+2
x
对
x
∈（0，+∞）恒成立．下列结论正确的是（
）
A．2
f
（2）﹣3
f
（1）＞5
B．若
f
（1）＝2，
x
＞1，则
C．
f
（3）﹣2
f
（1）＜7
D．若
f
（1）＝2，0＜
x
＜1，则
三．填空题（共 4 小题，满分 20 分）
13．已知数列{
an
}的前
n
项和 ，则数列{
an
}的第 6 项是 ．
14．若数列{
an
}的通项公式为 ，则该数列中的最小项的值为 ．
15．已知
a
＞0，
b
＞0，直线
y
＝
x
+
a
与曲线
y
＝
ex
﹣
b
相切，则 + 的最小值是 ．
16．设函数
f
（
x
）＝ ，对任意
x
1、
x
2∈（0，+∞），不等式
，恒成立，则正数
k
的取值范围是 ．
四．解答题（共 6 小题，满分 70 分）
17．（10 分）已知数列{
an
}的前
n
项和为
Sn
，
a
1＝﹣11，
a
2＝﹣9，且
Sn
+1+
Sn
﹣1﹣2
Sn
＝
2（
n
≥2）．
（1）求数列{
an
}的通项公式；
（2）设 ，数列{
bn
}的前
n
项和为
Tn
，求使得
Tn
＞0 的
n
的最大值．
18．（12 分）设数列{
an
}满足
a
1＝2，
an
+1﹣
an
＝3•22
n
﹣1．
（1）求数列{
an
}的通项公式；
（2）令
bn
＝
nan
，求数列{
bn
}的前
n
项和
Sn
．
19．（12 分）已知函数
f
（
x
）＝ ﹣
a
（
x
﹣
lnx
）+
a
（
a
为实数）．
（1）当
a
＝﹣1 时，求函数
f
（
x
）的单调区间；
（2）若函数
f
（
x
）在（0，1）内存在唯一极值点，求实数
a
的取值范围．
20．（12 分）在数列{
an
}中，
a
1＝1，
an
＝2
an
﹣1+
n
﹣2（
n
≥2）．
（1）证明：数列{
an
+
n
}为等比数列，并求数列{
an
}的通项公式；
（2）求数列{
an
}的前
n
项和
Sn
．
21．（12 分）已知点
A
（0，﹣2），椭圆 的长轴长是短轴长
的 2 倍，
F
是椭圆
E
的右焦点，直线
AF
的斜率为 ，
O
为坐标原点．
（1）求椭圆
E
的方程；
（2）设过点
A
（0，﹣2）的动直线
l
与椭圆
E
相交于
P
，
Q
两点．当△
OPQ
的面积最
大时，求直线
l
的方程．
22．（12 分）已知函数
f
（
x
）＝
lnx
+
a
﹣2
x
（
a
∈R）．
（Ⅰ）当
a
＝﹣2 时，求函数
f
（
x
）的单调区间；
（Ⅱ）若函数
f
（
x
）有两个不同零点
x
1，
x
2（
x
1＜
x
2），
（ⅰ）求实数
a
的取值范围；
（ⅱ）求证：
x
1•
x
22＞ ．
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