黑龙江省哈师大附中2022届高三上学期期末考试数学（文）试题答案

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数学试题（文科）参考答案
1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7. A 8.B 9.B 10.C 11.D 12.A 13.
π
3
14. 15. 16.13
17. （1） 由
ρ2=4
1+3 sin2θ
得
ρ2+3
(
ρsin θ
)
2=4
，
因为
ρ2=x2+y2
，
ρsin θ=y
，
所以曲线
C
的直角坐标方程为：
x2
4+y2=1
．
由
消去参数
t
，得直线
l
的普通方程为：
x+2❑
√
3y+m=0
．
（2） 由（
1
）可得曲线
C
的参数方程为
{
x=2 cos φ ,
y=sin φ
（
φ
为参数）．
由点到直线的距离公式，得点
M
到直线
l
的距离
d=∣2 cos φ+2❑
√
3 sin φ+m∣
❑
√
13 =
∣4 sin
(
φ+π
6
)
+m∣
❑
√
13
．
因为
dmax=6❑
√
13
13
，所以
∣4 sin
(
φ+π
6
)
+m∣
max
=6
，
又
4 sin
(
φ+π
6
)
+m∈
[
m − 4, m+4
]
，
所以当
m ≤0
时，
4−m=6
，得
m=−2
；
当
m>0
时，
4+m=6
，得
m=2
．
所以
m=±2
．
18.（1） 由正弦定理可得：
sin A+sin B −sin Ccos A −❑
√
3 sin Asin C=0
，
整理得，
sin A+sin
(
A+C
)
−sin Ccos A −❑
√
3 sin Asin C=0
，
即
sin A+sin Acos C −❑
√
3 sin Asin C=0
，
又因为
A∈
(
0, π
)
，则
sin A>0
，
所以
❑
√
3 sin C −cos C=2 sin
(
C − π
6
)
=1
，即
sin
(
C − π
6
)
=1
2
，
又因为
−π
6<C − π
6<5π
6
，所以
C − π
6=π
6
，解得
C=π
3
．
（2） 由余弦定理可得：
c2=a2+b2−2ab cos C=a2+b2− ab
，
因为
c=2❑
√
3
，
b=2a
，解得
a=2
，
所以
b=4
，
则三角形
ABC
的面积
S=1
2ab sin C=1
2×2×4×
❑
√
3
2=2❑
√
3
．
19.（1） 设数列
{
an
}
是公差为
d
的等差数列，
{
bn
}
是公比为
q
(
q ≠1
)
的等比数列，
由
a1=1
，
b1=2
，
b2=2a2
，
b3=3a3−1
，可得
2q=2
(
1+d
)
，
2q2=3
(
1+2d
)
−1
，
解得
d=0
，
q=1
（舍）或
d=1
，
q=2
，
则
an=1+n −1=n
，
bn=2⋅2n −1=2n
．
（2）
cn=2an
(
bn−1
)(
bn+1−1
)
=2n
(
2n−1
) (
2n+1−1
)
=1
2n−1−1
2n+1−1
，
则
Sn=¿1−1
22−1+1
22−1−1
23−1+1
23−1−1
24−1+⋯+1
2n−1−1
2n+1−1
¿
1−1
2n+1−1.¿
20. （1） 连接
EG
，因为四边形
ABCD
为菱形，
所以
AD=AB
，
BD ⊥AC
，
DG=GB
，在
△EAD
和
△EAB
中，
AD=AB
，
AE=AE
，
∠EAD=∠EAB
，
所以
△EAD ≌△EAB
，所以
ED=EB
，所以
BD ⊥EG
，
因为
AC ∩ EG=G
，所以
BD ⊥平面 ACFE
，因为
BD ⊂平面 ABCD
，所以
平面 ACEF ⊥平面 ABCD
；
（2） 因为
EF ∥GC
，
EF=2GC
，所以点
F
到平面
BDE
的距
离为点
C
到平面
BDE
的距离的两倍，所以
VF − BDE=2VC −BDE
，作
EH ⊥AC
，因为
平面 ACEF ⊥平面 ABCD
，
EH ⊥平面 ABCD
，
所以
VC − BDE ¿VE− BCD
¿ ¿ ❑
√
3
2,
所以三棱锥
F − BDE
的体积为
❑
√
3
．
21.（1） 当
M
为椭圆的短轴端点时，
S△F1M F2
取得最大值，
即
S=1
2×2c × b=1
，
又因为
c
a=❑
√
2
2
，
a2=b2+c2
，
解得：
a=❑
√
2
，
b=1
，
c=1
，
所以椭圆方程为
x2
2+y2=1
．
（2）
A
(
❑
√
2,0
)
，根据题意，直线
l
存在且不为
0
，
设直线
l:y=k
(
x −❑
√
2
)
，
B
(
x0, y0
)
，
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