黑龙江省哈尔滨市第九中学2022届高三下学期第二次模拟考试 数学（文）

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数学试题 第 1页 共 3页
哈 尔 滨 市 第 九 中 学 2022 届 高 三
第 二 次 模 拟 考 试 数 学 （ 文 ） 试 卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分 共 3页)
一、选择题:（本题共 12 小题，每小题 5分，在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）
 
 
 
2 1, Z , 1 3A x x n n B x x A B   1.已知集合 ，则
A．
 
1,3
B．
 
1 3,5,7,9，
C．
 
3, 5, 7
D．
 
1,3,5,7
2．已知某公交车早晨
5
点开始运营，每 20 分钟发一班车，小张去首发站坐车，等车时间少于
5
分钟的概率为
（ ）
A．
2
3
B．
1
4
C．
D．
1
3
3.若x，y满足约束条件
3
1
0
x y
x y
x
 
 
，则
2z x y 
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.下列说法正确的是（ ）
A．若
2
0 0 0
: , 2 3 1 0,p x R x x  
则
2
: , 2 3 1 0p x R x x  
B．
" (0) 0"f
是
"
函数
( )f x
是奇函数
"
的充要条件
C．
(0, ),x  
都有
2
2xx
D. 在
ABC
中，若
A B
，则
sin sinA B
5.已知
5
sin( )
3 5
 
，则
sin(2 )
6
的值为（ ）
A.
3
5
B.
4
5
C.
3
5
D.
4
5
6.已知抛物线
24y ax
的焦点是 F，点 P的坐标为
 
, 2a a
．若
6PF
，则 a的值是（ ）
A．4 B．3 C．4或一 4 D．3或
3
7. 已知数列
 
n
a
满足
115a
，
2
43
3
a
，且
1 2
2n n n
a a a
 
 
．若
10
k k
a a
 
，则正整数
k
（ ）
A．
21
B．
22
C．
23
D．
24
8.
2019
年
1
月
3
日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一
张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，地球
P
和月球
都绕地月系质心
做
圆周运动，
1
PO r
，
2
OQ r
，设地球质量为
M
，月球质量为
m
，地月距离
PQ
为
R
，万有引力常数为
G
，
月球绕
做圆周运动的角速度为
，且
2 2
2 1
2
GMm m r M r
R
 
 
，则（ ）
A．
 
2
G M m
R
B．
3
( )G M m
R
C．
2 3
M m
GR
D．
1
M
r R
M m
9.有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，
乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当
选的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．函数
( ) cos ( 1)
3
f x x
 
 
 
 
在区间
 
3,5
上的所有零点之和等于（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．2
11．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文
化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已
知圆 O是某窗的平面图，O为圆心，点 A在圆 O的圆周上，点 P是圆 O内部一点，若
2OA
，且
2OA AP  
 
，
则
OA OP
 
的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
12．偶函数
 
f x
满足
 
4 4f x f x 
，当
0, 4x
时，
 
ln x
f x x
，不等式
   
20f x af x 
在
 
200, 200
上有且只有 100 个整数解，则实数 a的取值范围是（ ）
A．
1 1
ln 3, ln 2
3 2
 
 
B．
1 1
ln 3, ln 2
3 2
 
 
C．
1 1
ln 3, ln 2
3 2
 
 
 
D．
1 1
ln 3, ln 2
3 2
 
 
 
二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分）
13.复数 z满足
i 2 iz 
（其中 i为虚数单位），则
z
______．
14.在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ .
数学试题 第 2页 共 3页
15.已知双曲线 C：
 
2 2
2 2 1 0, 0
x y a b
a b
 
，P为双曲线 C上的一点，若点 P到双曲线 C的两条渐近线的距离
之积为 1，则双曲线的半焦距 c的取值范围________ .
16.在梯形
ABCD
中，
90ABC BAD  
，
11
2
AB BC AD 
，将
ABC
沿直线
AC
翻折成
1
AB CV
，当三
棱锥
1
B ACD
的体积最大时，三棱锥
1
B ACD
的外接球的表面积为______.
三、解答题：（共 70 分。解答写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答，第 22，23 为选考题，考生根据要求作答.）
17．已知等差数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，已知
535S
，且
4
a
是
1
a
与
13
a
的等比中项.
（1）求数列
 
n
a
的通项公式；
（2）若
14a
，求证：
1 2
1 1 1 3
4
n
S S S
 
，其中
*n N
18. 2021 年6月17 日9时22 分，我国酒泉卫星发射中心用长征
2F
遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人
飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波 3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中
国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的 A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广
泛．该公司为了将 A型材料更好地投入商用，拟对 A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用
改造投入 x（亿元）与产品的直接收益 y（亿元）的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
15
22
27
40
48
54
60
68.5
68
67.5
66
65
当
0 17x 
时，建立了 y与x的两个回归模型：模型①：
4.1 10 9
ˆ.y x 
，模型②：
ˆ21.3 14.4y x 
；当
17x
时，确定 y与x满足的线性回归方程为
ˆ ˆ
0.7y x a 
．
(1)根据下列表格中的数据，比较当
0 17x 
时模型①，②的相关指数
2
R
的大小，并选择拟合精度更高、更
可靠的模型，预测对 A型材料进行应用改造的投入为 17 亿元时的直接收益；
回归模型
模型①
模型②
回归方程
4.1 10 9
ˆ.y x 
ˆ21.3 14.4y x 
 
72
1
ˆ
i i
i
y y
79.13
20.2
(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴 5亿元，以回归方程为预测依
据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入 17 亿元与 20 亿元时公司收益（直接收益+国
家补贴）的大小．
附：刻画回归效果的相关指数
 
 
2
21
2
1
ˆ
1
n
i i
i
n
i
i
y y
R
y y
 
，且当
2
R
越大时，回归方程的拟合效
果越好，
17 4.1
19．在四棱锥
P ABCD
中，
/ /AB CD
，
2CD AB
，
AC
与
BD
相交于点
M
，点
N
在线段
AP
上，
AN AP
（
0
），且
/ /MN
平面
PCD
.
（1）求实数
的值；
（2）若
1AB AD DP  
，
2PA PB 
，
60BAD
 
，求点
N
到平面
PCD
的距离.
20.已知函数
( ) ln ( )
a
f x x x a R
x
 
有两个极值点
1 2
,x x
，且
1 2
x x
.
（1）求实数
a
的取值范围，并讨论
( )f x
的单调性；
（2）证明：
2
( ) ln 2f x
21.已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
 
经过点
3
( 1, )
2
A
，且离心率为
1
2
.
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）不与坐标轴垂直的直线
l
经过椭圆的右焦点
F
，且与椭圆
C
交于
,M N
两点，线段
MN
的垂直平分线与
x
轴交于点
P
，求证：当
l
的方向变化时，
MN
与
PF
的比值为常数.
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