黑龙江省哈尔滨市第九中学2022届高三下学期第二次模拟考试 数学（理）

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数学试题 第 1页 共 3页
哈 尔 滨 市 第 九 中 学 2022 届 高 三
第 二 次 模 拟 考 试 数 学 （ 理 ） 试 卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分 共 3页)
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5分，在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）
 
 
 
2 1, Z , 1 3A x x n n B x x A B   1.已知集合 ，则
A．
 
1,3
B．
 
3,5,7,9
C．
 
3,5,7
D．
 
1,3,5,7 9，
2．已知某公交车早晨
5
点开始运营，每 20 分钟发一班车，小张去首发站坐车，等车时间少于
5
分钟的概率为
（ ）
A．
2
3
B．
1
4
C．
D．
1
3
3.若x，y满足约束条件
3
1
0
x y
x y
x
 
 
，则
2z x y 
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知抛物线
24y ax
的焦点是 F，点 P的坐标为
 
, 2a a
．若
6PF
，则 a的值是（ ）
A．4 B．3 C．4或一 4 D．3或
3
5．已知数列
 
n
a
满足
115a
，
2
43
3
a
，且
1 2
2n n n
a a a
 
 
．若
10
k k
a a
 
，则正整数
k
（ ）
A．
21
B．
22
C．
23
D．
24
6.
2019
年
1
月
3
日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一
张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱．如图所示，地球
P
和月球
都绕地月系质心
O
做
圆周运动，
1
PO r
，
2
OQ r
，设地球质量为
M
，月球质量为
m
，地月距离
PQ
为
R
，万有引力常数为
G
，
月球绕
做圆周运动的角速度为
，且
2 2
2 1
2
GMm m r M r
R
 
 
，则（ ）
A．
 
2
G M m
R
B．
3
( )G M m
R
C．
2 3
M m
GR
D．
1
M
r R
M m
7.有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，
乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当
选的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．函数
( ) cos ( 1)
3
f x x
 
 
 
 
在区间
 
3,5
上的所有零点之和等于（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．2
9.习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计。哈九中落实讲话内容，组
织研究性学习.在研究性学习成果报告会上，有
A B C D E F､ ､ ､ ､ ､
共6项成果要汇报，如果 B成果不能最先汇报，
而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
10．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文
化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已
知圆 O是某窗的平面图，
O为圆心，点 A在圆 O的圆周上，点 P是圆 O内部一点，若
2OA
，且
2OA AP  
 
，
则
OA OP
 
的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
11．偶函数
 
f x
满足
 
4 4f x f x 
，当
0, 4x
时，
 
ln x
f x x
，不等式
   
20f x af x 
在
 
200, 200
上有且只有 100 个整数解，则实数 a的取值范围是（ ）
A．
1 1
ln 3, ln 2
3 2
 
 
B．
1 1
ln 3, ln 2
3 2
 
 
 
C．
1 1
ln 3, ln 2
3 2
 
 
 
D．
1 1
ln 3, ln 2
3 2
 
 
 
12.在钝角
ABC
中，
, ,a b c
分别是
ABC
的内角
, ,A B C
所对的边，点
G
是
ABC
的重心，若
AG BG
，则
cosC
的取值范围是（ ）
A．
6
0, 3
 
 
 
 
B．
4 6
,
5 3
 
 
C．
4,1
5
 
 
D．
6,1
3
 
 
 
 
二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分）
13.复数 z满足
i 2 iz 
（其中 i为虚数单位），则
z
______．
14.在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ .
15.已知双曲线 C：
 
2 2
2 2 1 0, 0
x y a b
a b
 
，P为双曲线 C上的一点，若点 P到双曲线 C的两条渐近线的距离
之积为 1，则双曲线的半焦距 c的取值范围________ .
16.在梯形
ABCD
中，
90ABC BAD  
，
11
2
AB BC AD 
，
M
为
AC
的中点，将
ABC
沿直线
AC
翻
折成
1
AB CV
，当三棱锥
1
B ACD
的体积最大时，过点
M
的平面截三棱锥
1
B ACD
的外接球所得截面面积的
最小值为______.
数学试题 第 2页 共 3页
三、解答题：（共 70 分。解答写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答，第 22，23 为选考题，考生根据要求作答.）
(一）必考题：共 60 分
17. 2021 年6月17 日9时22 分，我国酒泉卫星发射中心用长征
2F
遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人
飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波 3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中
国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的 A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广
泛．该公司为了将 A型材料更好地投入商用，拟对 A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用
改造投入 x（亿元）与产品的直接收益 y（亿元）的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
15
22
27
40
48
54
60
68.5
68
67.5
66
65
当
0 17x 
时，建立了 y与x的两个回归模型：模型①：
4.1 10 9
ˆ.y x 
，模型②：
ˆ21.3 14.4y x 
；当
17x
时，确定 y与x满足的线性回归方程为
ˆ ˆ
0.7y x a 
．
(1)根据下列表格中的数据，比较当
0 17x 
时模型①，②的相关指数
2
R
的大小，并选择拟合精度更高、更
可靠的模型，预测对 A型材料进行应用改造的投入为 17 亿元时的直接收益；
回归模型
模型①
模型②
回归方程
4.1 10 9
ˆ.y x 
ˆ21.3 14.4y x 
 
72
1
ˆ
i i
i
y y
79.13
20.2
(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于 20 亿元时，国家给予公司补贴 5亿元，以回归方程为预测依
据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入 17 亿元与 20 亿元时公司收益（直接收益+国
家补贴）的大小．
附：刻画回归效果的相关指数
 
 
2
21
2
1
ˆ
1
n
i i
i
n
i
i
y y
R
y y
 
，且当
2
R
越大时，回归方程的拟合效
果越好，
17 4.1
18.已知数列
 
n
a
满足
1 2 2 2
n n
a a a a 
，
*
n N
．
（1）证明：数列
1
1n
a
 
 
 
是等差数列，并求数列
 
n
a
的通项公式；
（2）记
( 1)
n
n
a
bn n
求
 
n
b
的前 n项和
n
S
19.三棱锥
P ABC
中，
AC BC
，平面
PAC
平面
ABC
，
2PA PC AC  
，
4BC
，
,E F
分别为
PC
和
PB
的中点，平面
ABC
平面
AEF l
.
（1）证明：直线
//l BC
；
（2）设 M 是直线
l
上一点，且直线
PB
与平面
AEF
所成的角为
，直线
PM
与直线
EF
所成的角为
，满足
2
 
 
,求
AM
的值.
20.在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
：
 
2 2
2 2 1 0
x y a b
a b
 
的左、右顶点
分别为 A、B,右焦点为 F,且椭圆
过点
 
0, 5
、
5
(2, )
3
,过点 F的直线 l与椭圆
交于 P、Q两点（点 P在x轴
的上方）.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设直线 AP、BQ 的斜率分别为
1
k
、
2
k
,是否存在常数
,使得
1 2 0k k
 
?若存在,请求出
的值；若不存
在,请说明理由.
21.已知函数
( ) ( )( )( 0)
x
f x x b e a b 
在
( 1, ( 1))f 
处的切线方程为
( 1) 1 0e x ey e  
.
（1）求
,a b
的值；
（2）若方程
( )f x m
有两个实数根
1 2
,x x
，①证明：
1
2
m 
；②当
0m
时，
2 1 2 1x x m 
是否成立？
如果成立，请简要说明理由.
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