黑龙江省哈尔滨市第九中学2021-2022 学年高三下学期开学考试 文数

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1
哈尔滨市第九中学 2021-2022 学年度下学期
开学考试 高三数学文科试卷
（时间：120 分钟 满分：150 分 ）
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．已知集合
 
2
3{ | } 7 10 0|M x x N x x x  ＞ ，
，则 M∪N=（ ）
A．
2,3
B．
3,5
C．
5，
D．
[2, )
2．在复平面内，已知平行四边形
OABC
的三个顶点 O，A，C对应的复数分别为 0，
，
3 2i 
，
则点 B对应的复数为（ ）
A．
1 6i 
B．
1 6i
C．
5i
D．
1 5i 
3．已知命题
p
：若
2
b ac
，则
a b c， ，
成等比数列；命题
q
：
00, 2
x 
 
 
，使得
0 0
1 3
sin cos 1
2 2
x x 
，
则下列为真命题的是（ ）
A．
( )p q 
B．
p q
C．
( )p q 
D．
( ) ( )p q  
4．设 x，y满足约束条件
3 6
2 0
4
x y
x y
x y
 
 
 
，则
2z y x 
的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.徽砚又名歙砚，中国四大名砚之一，是砚史上与端砚齐名的珍品.以砚石在古歙州府加工和集
散而得名，徽砚始于唐代，据北宋唐积《歙州砚谱》载：婺源砚在唐开元中，猎人叶氏逐兽至
长城里，见叠石如城垒状，莹洁可爱，因携之归，刊出成砚，温润大过端溪，此后，徽砚名闻
天下，如图所示的徽砚近似底面直径为
10cm
，高为
2.5cm
的圆柱体，则该徽砚的体积为（ ）
3
cm
A．
B．
75
C．
125
2
D．
125
3
6.干支纪年，是指中国纪年历法，至迟在东汉初期已经普遍使用，直到今天没有间断过.干支实
际上是“天干”和“地支”的合称.甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸十个字叫做“天干”；子､丑､寅､卯
､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥十二个字叫做“地支”.把天干中的一个字摆在前面，后面配上地支中的
一个字，这样就构成一对干支.如果天干以“甲”字开始，地支以“子”字开始顺序组合，我们就可
以得到六十对干支：甲子､乙丑､丙寅､丁卯......癸亥，称为“六十花甲子”.干支纪年在我国历史学
中广泛使用，特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干支纪年表示.例如甲午战争､戊戌变
法､辛亥革命等等.1911 年的辛亥革命推翻了统治中国两千多年的封建君主专制制度，建立了中国
历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共和的观念开始深入人心；1949 年中华人民共和国的
成立标志着中国新民主主义革命取得胜利，开辟了中国历史的新纪元，从此，中国结束了一百
多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民从此站起来了，成为国
家的主人.1949 年用干支纪年法表示，是（ ）
A．戊子年 B．己丑年 C．庚寅年 D．己酉年
7．已知直线
1: 2 4 0l ax y  
与直线
 
2: 3 2 0l x a y  
，若
1 2
l l∥
，则
a
（ ）
A．1或2 B．1 C．
1
或
2
D．
1
8．在数列
 
n
a
中，
120a
，
13
n n
a a
 
（
2n
，
*
Nn
），则数列
 
n
a
的前 n项和取最大值时，
n的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．
3 1
cos10 sin 550
 
等于（ ）
A．
2
B．
2
C．
4
D．
4
10. 已知点 P为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)
x y a b
a b
 
的左支上一点，O为坐标原点，
1 2
,F F
为双曲线的左，
右焦点.
2
| |OP OF
且
2 1
3PF PF
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
2 1
B．
3 1
C．
5 1
D．
6 1
文数第 页
2
11．已知
P
，
Q
分别是正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
的棱
1
BB
，
1
CC
上的动点(不与顶点重合)，则下列
结论错误的是（ ）
A．
AB PQ
B．
1
AD
与
PQ
不会相交
C．四面体
ABPQ
的体积为定值 D．
/ /AP
平面
1 1
CDD C
12. 已知
)2lg(ln,2,2ln 2ln cba
，则（ ）
A.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．抛物线
2
4y x
的焦点坐标为______.
14．已知幂函数
 
f x
的图象过点
 
8, 2 
，且
 
1 3f a f a  
，则 a的取值范围是______．
15．在正三棱锥
P ABC
中，
3PA PB PC 
，侧棱
PA
与底面
ABC
所成的角为
60
，
则该三棱锥外接球的体积为______.
16．数列
 
n
a
中，
 
*
1
1 3 2,
2 2
n n
a a n n N
 
，且
11a
，记数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，则
n
S
=__________．
三、解答题 (本题共 6 小题，共 70 分)
17．(本小题 12 分)为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，淮南市建立了
公共自行车服务系统．为了了解市民使用公共自行车情况，现统计了甲、乙两人五个星期使用
公共自行车的次数，统计如下：
第一周
第二周
第三周
第四周
第五周
甲的次数
11
12
9
11
12
乙的次数
9
6
9
14
15
(1)分别求出甲乙两人这五个星期使用公共自行车次数的众数和极差；
(2)根据有关概率知识，解答下面问题：从甲、乙两人这五个星期使用公共自行车的次数中各随
机抽取一个，设抽到甲的使用次数记为
x
，抽到乙的使用次数记为
y
，用
A
表示满足条件
2x y 
的事件，求事件
A
的概率．
18.(本小题 12 分)已知
cba ,,
分别为
ABC
三个内角
CBA ,,
的对边，且
.
3
2
,1,7
Aca
(1)求
b
及
ABC
的面积
S
.
(2)若
D
为
BC
边上一点，且________________ ，求
ADB
的正弦值.
从①
1AD
,②
6
CAD
这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答.
19.(本小题 12 分)如图，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，
平面 ABCD⊥平面 SBC，SB＝SC，M是BC 的中点，AB＝1，BC＝2.
(1)求证：AM⊥SD.
(2)若
3SC
，求四棱锥 S－ABCD 的体积.
20.(本小题 12 分)已知点 F为椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点
构成一个等边三角形，直线x
4＋y
2＝1与椭圆 E有且仅有一个交点 M.
(1)求椭圆 E的方程.
(2)设直线x
4＋y
2＝1与y轴交于 P，过点 P的直线 l与椭圆 E交于不同的两点 A，B，若λ|PM|2＝
|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围.
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