黑龙江省哈尔滨市德强高中清北班2022届高三上学期期末考试数学（文）试题答案

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德强高中 2021-2022 学年度上学期期末验收考试

高三学年 (清北)文科数学参考答案

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．

AACBC DBDCC BA

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13．9 14．

5 1

15．6 16．

三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．

17.（10 分）

【解答】解：（I）∵曲线 C的极坐标方程为ρ＝，

∴ρ2＝①，∵ ②，

∴联立①②可得，．

（II）把直线 l的参数方程代入可得，（1+3sin2α）t2﹣2cosαt﹣3＝0，

由韦达定理可得，，

点M对应的参数为 xM＝﹣1+t3cosα＝0，所以，

∵|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，

∴|PA|•|PB|＝|PM|2，即，化简整理可得，2sin2α＝cos2α，

∴ ，即直线 l的斜率为，

故直线 l的方程为 x﹣ 或 x+．

18．（12 分）

【解答】解：（1）若选①：因为（2b﹣c）cosA＝acosC，

由正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，即 2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC，

所以 2sinBcosA＝sinB，因为 0＜B＜π，所以 sinB≠0，可得 cosA＝，因为 0＜A＜π，故 A＝．

若选②：∵（sinA+sinB）（a﹣b）＝c（sinC﹣sinB），∴由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝c（c﹣b），

即：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得 cosA＝，∵A∈（0，π），∴A＝．

选择条件③，tanA+tanB+tanC＝tanBtanC，因为 tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣ ，

所以﹣tanA+tanAtanBtanC＝tanB+tanC，即 tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，

所以 tanAtanBtanC＝tanBtanC，因为 tanBtanC≠0，所以 tanA＝，

因为 A∈（0，π），所以 A＝．

（2）因为，可得 1﹣2sin2＝，可得 sin ＝，cos ＝，

在△ABM 中，sin∠AMB＝sin（+∠ABM）＝ +＝，

由正弦定理可得＝，可得 c＝5．

19．（12 分）

【解答】解：（I）存在这样的点 P，线段 AD 上取 DP＝1．由 3BC＝3．得 BC＝1，

所以 DP＝BC，AD∥BC，所以四边形 PDCB 是平行四边形，AD⊥DC，

所以四边形 PDCB 是矩形，所以 BP⊥BC，平面 ABCD⊥平面 ABEF，四边形 ABEF 为正方形，

所以 BE⊥平面 ABCD，又 EB⊂平面 CBE，所以平面 ABCD⊥平面 CBE，

又BP⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 CBE＝BC，所以 BP⊥平面 CBE，又 BP⊂平面 BPE，

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所以平面 EBP⊥平面 EBC；

（II）在 Rt△ABP 可求得 AB＝＝，BD＝，在△ABP 中，sin∠BAD＝＝＝，

所以可得 AB 边上的高 h＝3× ＝，

所以 VD﹣ABEF＝ × × × ＝，VE﹣BCD＝ ×S△BCD×BE＝，

所以多面体 ABCDEF 的体积为．

20．（12 分）

【解答】解：（1）由题意，，

又，，

则，

故，故



9 127y x  

所以预测该运动品牌公司 6月份获得“运动达人”称号的员工数为﹣9×6+127＝73 人；

（2）由题意，m＝20，n＝40，

所以，

故没有 95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关．

21．（12 分）

【解答】解：（1）以 O为坐标原点，以 OD 所在的坐标为 x轴，以 OA 所在的直线为 y轴建立平面

直角坐标系，

由题意 A（0，1），E（3，0），由∠OEF＝30°，所以|OF|＝|OE|•tan30°＝，

所以 F（，0），kEF＝﹣ ，

所以直线 EF 的方程为：y＝﹣ x+，

设OD＝a，则 D（a，0），

所以椭圆 +y2＝1，当 a最大时直线 EF 与椭圆相切，

整理可得：（1+3a2）x2﹣62x+8a2＝0，

Δ＝（6a）2﹣4（1+3a2）•8a2＝0，解得 a＝（﹣ 舍）

所以椭圆的长半轴长为；

（2）因为 e＝＝，b＝1，a2＝b2+c2，所以 a2＝4，

所以椭圆的方程为： +y2＝1；

设OG＝t＞0，则 G（t，0），直线 MN 的方程为：y＝x﹣t，

联立，整理可得：5x2﹣8tx+4t2﹣4＝0，

设M（x1，y2），N（x2，y2）则 x1+x2＝，x1x2＝，

|y1﹣y2|＝|x1﹣x2|＝＝＝ • ，

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