黑龙江省哈尔滨市德强高中清北班2022届高三上学期期末考试数学（文）试题

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德强高中 2021-2022 学年度上学期期末验收考试
高三学年 (清北)文科数学试题
答题时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1. 已知 i为虚数单位，
2
2
i
zi
，则在复平面内 z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列函数中，既是偶函数又在
(0, )
单调递增的函数是( )
A．
1y x 
B．y＝x3C．
2
1y x 
D．
2x
y
3．已知集合
0
2
x
A x x
 
 
 
 
，集合
 
1
1 2x
B x y
 
，则
( )
A．
1, 2
B．
1, 2
C．
 
1, 2
D．
 
0,1
4．已知
( ) tan( )f x x
 
，则“函数
( )f x
的图象关于 y轴对称”是“
( )k k Z
 
 
”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知等比数列{an}的前 n项和为
2 1
n
n
S a b  
，则
4 4
a b
的最小值为( )
A．2 B．
2 2
C．4 D．5
6．已知向量
( 2,1), (1, ),a b t 
 
则下列说法不正确的是( )
A．若
/ /a b
 
，则 t的值为
1
2
B．若
a b a b 
   
，则 t的值为 2
C．
a b
 
的最小值为 1
D．若
a
与
b
的夹角为钝角，则 t的取值范围是 t＜2
7．已知正项等比数列{an}中，a2＝2，a4＝8，数列
 
2n n
a a
的前 n项和为 Sn，则
6
2
S
S
( )
A．32 B．21 C．16 D．8
8．直线
( 1) 2 0mx m y  
与圆
2 2
( 1) ( 1) 1( )x y m R  
相切，则 m＝( )
A．1 B．3 C．0或1 D．0或3
9．把函数
( ) 3sin(2 )
6
f x x
 
的图象向右平移
6
个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标
不变，得到函数
( )g x
的图象，若
 
1 2 1 2
( ) ( ) 6, , ,g x g x x x
 
 
，则
1 2
x x
的最大值为( )
A．
3
4
B．πC．
7
4
D．2π
10．已知
 
3sin 2 ( )f x x R
 
 
既不是奇函数也不是偶函数，若
 
y f x m 
的图像关于原点对
称，
 
y f x n 
的图像关于
y
轴对称，则
m n
的最小值为( )
A．
B．
2
C．
4
D．
8
11．已知椭圆 C：
2 2
1
4 3
x y
 
，左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A1，A2，P为C上一
动点，记
1 2 1 2
2 , 2F PF A PA
 
 
，则
tan tan 2
 
 
( )
A．2 B．4 C．
2 2
D．
3
2
12．已知
 
f x
是定义在
 
0,
上的可导函数，
 
f x
是
 
f x
的导函数，若
   
2x
xf x x f x e
 
，
 
1f e
，则
 
f x
在
 
0,
上( )
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．等差数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，若
1 2
2, 5S S 
，则
3
S
___________．
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14．已知点
( 1,0)P
，过点
(1, 0)Q
作直线
2 ( ) 2 0( , 0)ax a b y b a b  不同时为
的垂线，垂足为 H，则|PH|
的最小值为___________．
15．已知函数
( ) 1f x
是奇函数，若函数
1
1yx
 
与y＝f（x）图象的交点分别（x1，y1），（x2，y2），…，
（x6，y6），则交点的所有横坐标和纵坐标之和为___________．
16．椭圆
C
：
2 2
2 2 1( 0)
x y a b
a b
 
的左，右焦点分别为
1 2
,F F
，过点
1
F
的直线
l
交椭圆
C
于
,A B
两点，
已知
2 1 2 1 1 1
4
( ) 0, 3
AF F F AF AF F B  
 
，则椭圆
C
的离心率为___________.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为
1 cos (
sin
x t t
y t
 
为参数, 为直线的倾斜角
，
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为
8
= .
5 3cos 2
(1)求曲线 C的直角坐标方程；
(2)已知点
( 1,0)P
，直线 l与曲线 C交于 A、B两点，与 y轴交于 M点，若|PA|，|PM|，|PB|成等比数
列，求直线 l的普通方程．
18．(12 分)在①
(2 ) cos cosb c A a C 
，②
( )(sin sin ) (sin sin )a b A B c C B  
，③
tan tan tan 3 tan tanA B C B C 
，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若__________．
(1)求A；
(2)若点 M在线段 AC 上，
5 1
, 7, cos
3 7
ABM CBM BM B  
，求 c．
19．(12 分)如图，四边形 ABEF 为正方形，若平面 ABCD⊥平面 ABEF，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝
3DC＝3BC＝3．
(1)在线段 AD 上是否存在点 P，使平面 EBP⊥平面 EBC，请说明理由；
(2)求多面体 ABCDEF 的体积．
20．(12 分)为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机 APP 也推出了多款健康
运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司 140 名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且
公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到 10000 步及以上的员工授予该月“运动达人”称
号，其余员工均称为“参与者”，如表是该运动品牌公司 140 名员工 2021 年1月5月获得“运动达
人”称号的统计数据：
月份
1
2
3
4
5
“运动达人”员工数
120
105
100
95
80
(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数 y与月份 x之间的关系，求 y关于 x的
回归直线方程
y bx a 
，并预测该运动品牌公司 6月份获得“运动达人”称号的员工数；
(2)为了进一步了解员工的运动情况，选取了员工们在 3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人
参与者
合计
男员工
60
m
80
女员工
n
20
60
合计
100
40
140
请补充如表中的数据（直接写出 m，n得值），并根据如表判断是否有 95%的把握认为获得“运动达
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