黑龙江省哈尔滨市德强高中清北班2022届高三上学期期末考试数学（理）试题答案

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德强高中 2021-2022 学年度上学期期末验收考试

高三学年 (清北)理科数学参考答案

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

DCADA DCBBC BB

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13．i14．

15．

4 2

16．±1．

三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．

17.（10 分）

【解答】解：（I）∵曲线 C的极坐标方程为ρ＝，

∴ρ2＝①，∵ ②，

∴联立①②可得，．

（II）把直线 l的参数方程代入可得，（1+3sin2α）t2﹣2cosαt﹣3＝0，

由韦达定理可得，，

点M对应的参数为 xM＝﹣1+t3cosα＝0，所以，

∵|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，

∴|PA|•|PB|＝|PM|2，即，化简整理可得，2sin2α＝cos2α，

∴ ，即直线 l的斜率为，

故直线 l的方程为 x﹣ 或 x+．

18．（12 分）

【解答】解：（1）若选①：因为（2b﹣c）cosA＝acosC，

由正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，即 2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC，

所以 2sinBcosA＝sinB，因为 0＜B＜π，所以 sinB≠0，可得 cosA＝，因为 0＜A＜π，故 A＝．

若选②：∵（sinA+sinB）（a﹣b）＝c（sinC﹣sinB），∴由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）＝c（c

﹣b），即：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得 cosA＝，∵A∈（0，π），∴A＝．

选择条件③，tanA+tanB+tanC＝tanBtanC，因为 tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣ ，

所以﹣tanA+tanAtanBtanC＝tanB+tanC，即 tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，

所以 tanAtanBtanC＝tanBtanC，因为 tanBtanC≠0，所以 tanA＝，

因为 A∈（0，π），所以 A＝．

（2）因为，可得 1﹣2sin2＝，可得 sin ＝，cos ＝，

在△ABM 中，sin∠AMB＝sin（+∠ABM）＝ +＝，

由正弦定理可得＝，可得 c＝5．

19．（12 分）

【解答】解：（1）由题意的列联表：

主场

客场

合计

胜利

失败

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合计

∵ ＝ <2.072，

∴没有 85%的把握认为腾飞队在常规赛的“胜负”与“主客场”之间有关．

（2）（ⅰ）由题意：腾飞队在常规赛中获胜的概率为：，

X的可能取值为 0，1，2，3，且，

，

故X的分布列为：

20．（12 分）

解：（Ⅰ）证明：因为 PD⊥底面 ABCD，所以 PD⊥BC，

由地面 ABCD 为长方形，有 BC⊥CD，

而PD∩CD＝D，所以 BC⊥平面 PCD．

而DE⊂平面 PCD，所以 BC⊥DE，

又PD＝CD，点 E是PC 的中点，所以 DE⊥PC．

而PC∩BC＝C，

所以 DE⊥平面 PBC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，而 PB⊂平面 PBC，所以 PB⊥DE．

又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以 PB⊥平面 DEF．

由DE⊥平面 PBC，PB⊥平面 DEF，可知四面体 DBEF 的四个面都是直角三角形，

即四面体 DBEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．

（Ⅲ）由题意可知，以 D为坐标原点，射线 DA，射线 DC，射线 DP 分别为 x，y，z轴的正半

轴，建立空间直角坐标系，设 PD＝DC＝2，则，

由题意可知，二面角 F﹣DG﹣B即为平面 DEF 与平面 ABCD 所成的角，

则D（0，0，0），，C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），设 F（x，y，

z），，则，所以，即

，

则，，

设平面 FDG 的法向量，则，即

，

令，则，所以，

又平面 BDG 的法向量为，

因此，，

整理得，解得，

所以．

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