黑龙江省哈尔滨市德强高中清北班2022届高三上学期期末考试数学（理）试题

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德强高中 2021-2022 学年度上学期期末验收考试
高三学年 (清北)理科数学试题
答题时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔
迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设集合
 
( )( 3) 0 , ( 4)( 1) 0M x x a x N x x x   
，则下列说法一定正确的是( )
A．若 M∪N＝{1，3，4}，则 M∩N＝∅
B．若 M∪N＝{1，3，4}，则 M∩N≠∅
C．若 M∩N＝∅，则 M∪N有4个元素
D．若 M∩N≠∅，则 M∪N＝{1，3，4}
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若 m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
B．若 m∥α，m∥n，则 n∥α
C．若 m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则 n⊥β
3．使“
a b
”成立的必要不充分条件是“( )”
A．
0,x a b x 
B．
0,x a x b 
C．
0,x a b x 
D．
0,x a x b 
4. 已知 a＞0，且
24 0a b 
，则
2 3a b
a b
( )
17
6
14
5
17
6
14
5
2 2
2 2 1( 0)
x y a b
a b
 
2 2
1
81 16
x y
 
2 2
1
65 81
x y
 
2 2
1
100 64
x y
 
2 2
1
64 100
x y
 
( ) 2sin cosf x x x 
0 0
3 5
( ) ( (0, ))
5 2
f x x
 
11
2
1
2
2
11
 
n
a
*
1 1
1, ( 1)( ) 1( )
n n
a n n a a n N
 
21
a
21
20
19
20
41
21
40
21
,a b
 
2 19, 3a b a 
 
1
cos , 4
a b
 
b
5
4
5
2
4
31
3
16
3
31
12
 
3sin 2 ( )f x x R
 
 
 
y f x m 
 
y f x n 
y
m n
2
4
8
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11．已知 EF 是圆
2 2
: 2 4 3 0C x y x y  
的一条弦，且 CE⊥CF，P是EF 的中点，当弦 EF 在圆 C
上运动时，直线
: 3 0l x y  
上存在两点 A，B，使得
2
APB
 
恒成立，则线段 AB 长度的最小值是( )
A．
3 2 1
B．
4 2 2
C．
4 3 1
D．
4 3 2
12．椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
 
的左顶点、左焦点、上顶点分别为 A，F，B，若坐标原点 O关于直线
BF 的对点恰好在直线 AB 上，则椭圆 C的离心率 e的取值范围( )
A．
1
0, 4
 
 
 
B．
1 1
,
4 2
 
 
 
C．
1 3
,
2 4
 
 
 
D．
3,1
4
 
 
 
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．复数
2
2 1
i
i
的共轭复数是__________．
14．在棱长为 2的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 E在棱 AA1上，AE＝3A1E，点 G是棱 CD 的中点，
点F满足
1
1
4
BF BB
 
，则直线 EF 与直线 D1G所成角的余弦值为__________．
15．已知点
( 1, 0)P
在直线
: 2 0( )l ax y a a R  
上的射影为 M，点
(0,3)N
，则线段 MN 长度的最小
值为__________．
16．以原点为对称中心的椭圆 C1，C2焦点分别在 x轴，y轴，离心率分别为 e1，e2，直线 l交C1，C2
所得的弦中点分别为
1 1 2 2
( , ), ( , )M x y N x y
，若
2 2
1 2 1 2 1 2
2 0, 2 1x x y y e e  
，则直线 l的斜率为__________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为
1 cos (
sin
x t t
y t
 
为参数, 为直线的倾斜角
，
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为
8
= .
5 3cos 2
(1)求曲线 C的直角坐标方程；
(2)已知点
( 1, 0)P
，直线 l与曲线 C交于 A、B两点，与 y轴交于 M点，若|PA|，|PM|，|PB|成等比数列，
求直线 l的普通方程．
(2 ) cos cosb c A a C 
( )(sin sin ) (sin sin )a b A B c C B  
tan tan tan 3 tan tanA B C B C 
5 1
, 7, cos
3 7
ABM CBM BM B  
阶段
比赛场数
主场场数
获胜场数
主场获胜场数
第一阶段
22
11
14
8
第二阶段
20
10
14
8
1
2
2
2( ) ( )
( )( )( )( )
n ad bc
K n a b c d
a b a c b d c d
 
 
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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