黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期开学考试 数学 PDF版试题含答案

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试卷第 1页，共 4页
哈师大附中 2021 级高二上学期开学数学试题
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．在复平面内，复数 z1，
z2所对应的点关于虚轴对称，若 z1＝1+2i，则复数 z2＝（ ）
A．﹣1+2iB．﹣1﹣2iC．1﹣2iD．2+i
2．如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图为△A'B'C'，已知 A'O'＝B'O'＝C'O'＝1，则
△ABC 的周长为（ ）
A．6 B．8 C．D．
3．已知在
ABC 中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则 x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．0<x<2 C．2<x<3 D．2<x<4
4．为庆祝中国共产党成立 100 周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色
革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别 600 人、
500 人、
700
人，欲采用分层抽样法组建一个 36 人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取
高三（ ）
A．10 人B．12 人C．14 人D．16 人
5．已知向量
a
，
b
满足
3a
，
4b
，且
a
与
b
反向，则
 
3a b b  
 
（ ）
A．36 B．48 C．57 D．64
6．△
ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且 a=1，B=45°，其面积
为2，则△
ABC
的外接圆的直径为（ ）
A．
4 2
B．
C．4 D．5
7．某圆锥的母线长为 2，侧面积为 2π，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
8．从 2名男生和 2名女生中选 2人参加校庆汇报演出，则选到一男一女的概率为（ ）
A．B．C．D．
试卷第 2页，共 4页
9．已知四面体 ABCD 的所有棱长都相等，其外接球的体积等于 π，则下列结论正确
的个数为（ ）
①四面体 ABCD 的棱长均为 2：
②四面体 ABCD 的体积等于 ；
③异面直线 AC 与BD 所成角为 60°．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知 p是边长为 2的正三角形 ABC 的边 BC 上的一点，则
AP AB
 
的取值范围是（ ）
A．[2，6] B．[2，4] C．(2，4) D．(0，4)
11．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 2，M，N分别是棱 BC，CC1的中点，动点
P在正方形 BCC1B1（包括边界）内运动，若 PA1∥面 AMN，则线段 PA1的长度范围
是（ ）
A．[2，] B．[2，3] C．[，3] D．[，]
12.在等腰
ABC
中，AB＝AC，若 AC 边上的中线 BD 的长为 3，则
ABC
的面积的最大
值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知平面向量
a
，
b
满足
1a
，
2b
，
 
0a a b 
  
，则
a
，
b
的夹角为________.
14.已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：14，30，37，
a
，41，52，53，
55，58，80；乙组：17，22，32，
b
，45，47，51，59．若甲组数据的第 30 百分位数
和乙组数据的中位数相等，则
a b
等于___________.
15．设
ABC
的内角
, ,A B C
所对的边为
, ,abc
，则下列命题正确的有 ___________.
①．若
2 2 2
a b ab c 
，则
03
C
 
②.若
2
ab c
，则
03
C
 
③．若
2a b c 
，则
03
C
 
④．若
4 4 4
a b c 
，则
02
C 
16．已知正三棱锥
P ABC
侧棱长为
l
，且
2 3l 
，底面边长为 2，则
P ABC
外接
试卷第 3页，共 4页
球表面的最小值为___________.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题 10 分）．
树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，
已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进
展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出 20 人的样本，并将这 20 人按年龄分组：
第1组[15，25），第 2组[25，35），第 3组[35，45），第 4组[45，55），第 5组[55，
65]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求样本中第 3组人数；
（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数；
（3）若从年龄在[15，35）的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在[15，25）
内的概率．
18．（本小题 12 分）．
在
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，已知
2 2 2
b c a bc 
.
（Ⅰ）求角
A
的大小；
（Ⅱ）若
2a
，求
2b c
的取值范围.
19．（本小题 12 分）．
如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 4，△A1BC 的面积为 ．
（1）求 A到平面 A1BC 的距离；
（2）设 D为A1C的中点，AA1＝AB，平面 A1BC⊥平面 ABB1A1，求二面角 A﹣BD
﹣C的正弦值．
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