黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二10月月考数学答案

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哈师大附中 2021 级高二学年上学期 10 月月考
数学科试题
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．已知向量 ， ，则 等于（　　）
A．B．C．D．
【解答】解：∵ ， ，
∴+＝（3，5，4），
则 ＝ ＝5，
故选：C．
2．焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为 6的椭圆方程为（　　）
A． ＝1 B． ＝1
C． ＝1 D． ＝1
【解答】解：因为焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为 6，
所以 c＝4，a＝6，
所以 b2＝a2﹣c2＝624﹣2＝20，
所以椭圆的方程为 +＝1，
故选：D．
3．若直线 l的一个方向向量为 ＝（1，﹣2，﹣1），平面 á的一个法向量为 ＝（﹣2，4，2），则（
）
A．l⊂á B．l∥áC．l⊥áD．l∥á或l⊂á
【解答】解：根据题意，直线 l的一个方向向量为 ＝（1，﹣2，﹣1），平面 á的一个法向量为 ＝
（﹣2，4，2），
则有 ＝﹣2，故 l⊥á，
故选：C．
4．已知圆 C1的圆心在 x轴上，半径为 1，且过点（2，﹣1），圆 C2：（x4﹣）2+（y2﹣）2＝10，则圆
C1，C2的公共弦长为（　　）
A．B．C．D．2
【解答】解：设圆 C1的方程为（x﹣a）2+y2＝1，代入点（2，﹣1）的坐标得（2﹣a）2+1＝1，
解得 a＝2，故圆 C1的方程为（x2﹣）2+y2＝1，化为一般方程为 x2+y24﹣x+3＝0，
圆C2的一般方程为 x2+y28﹣x4﹣y+10＝0，
两圆方程作差得 4x+4y7﹣＝0，
点C1（2，0）到直线 4x+4y7﹣＝0的距离为：d＝ ＝ ＝ ，
则圆 C1，C2的公共弦长为 2＝ ．
故选：A．
5．圆 x2+（y2﹣）2＝4与圆：x2+2mx+y2+m21﹣＝0至少有三条公切线，则 m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣ ] B．[5，+∞）
C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣ ] [∪，+∞）
【解答】解：根据题意，圆：x2+2mx+y2+m21﹣＝0，即（x+m）2+y2＝1，其圆心为（﹣m，0），半径
r＝1，
圆x2+（y2﹣）2＝4，其圆心为（0，2），半径 R＝2，
若两圆至少有三条公切线，则两圆外切或外离，则有 ≥2+1，
解可得：m≥或m≤﹣，则 m的取值范围为：（﹣∞，﹣ ] [∪，+∞），
故选：D．
6．已知椭圆 C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，若 C上存在无数个点 P，满足：
∠F1PF2＞ ，则 的取值范围为（　　）
A．（0， ） B．（ ，1）C．（ ，1）D．（0， ）
【解答】解：因为椭圆 C上存在无数个点 P，满足∠F1PF2＞ ，
所以以 F1F2为直径的圆与椭圆有 4个交点，
所以 c＞b，
故选：D．
7．已知圆 C的方程为（x1﹣）2+（y1﹣）2＝1，直线 l：（3 2﹣t）x+（t1﹣）y+2t1﹣＝0恒过定点 A．
若一条光线从点 A射出，经直线 x﹣y5﹣＝0上一点 M发射后到达圆 C上的一点 N，则|AM|+|MN|的最
小值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：直线 l可化为 3x﹣y1﹣ ﹣t（2x﹣y2﹣）＝0
令 2x﹣y2﹣＝0，可得 3x﹣y1﹣＝0，
求得 x＝﹣1，且 y＝﹣4，
所以，点 A的坐标为（﹣1，﹣4）．
设点 A（﹣1，﹣4）关于直线 x﹣y5﹣＝0的
对称点为 B（a，b），
则由 ，求得 ，
所以点 B坐标为（1，﹣6）．
由线段垂直平分线的性质可知，|AM|＝|BM|，
所以，|AM|+|MN|＝|BM|+|MN|≥|BN|
≥|BC|﹣r＝7 1﹣＝6，
（当且仅当 B，M，N，C四点共线时等号成立），
所以，|AM|+|MN|的最小值为 6，
故选：A．
8．已知 P是直线 l：x+y7﹣＝0上任意一点，过点 P作两条直线与圆 C：（x+1）2+y2＝4相切，切点分别
为A，B．则|AB|的最小值为（　　）
A．B．C．D．
【解答】解：已知 P是直线 l：x+y7﹣＝0上任意一点，过点 P作两条直线与圆 C：（x+1）2+y2＝4相
切，切点分别为 A，B，
圆C是以 C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，
由题可知，当∠ACP 最小时，|AB|的值最小， ，
当|PC|取得最小值时，cos∠ACP 最大，∠ACP 最小，
点C到直线 l的距离 ，
故当 时，cos∠ACP 最大，且最大值为 ，
此时 ，则 ．
故选：A．
9．如图，在底面半径为 1，高为 6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的
上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率
为（　　）
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，BF＝1，BO＝2， ，
则 ，
∴OD＝2，即 a＝2，而 2b＝2，即 b＝1，
所以 ，
所以离心率 ，
故选：B．
10．已知圆 C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和 C2：（x3﹣）2+y2＝1，动圆 M与圆 C1，圆 C2均相切，P是
△MC1C2的内心，且 ，则 a的值为（　　）
A．9 B．11 C．17 或19 D．19
【解答】解：根据题意：圆 C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圆心 C1（﹣3，0），半径 R1＝a，
圆C2：（x3﹣）2+y2＝1，其圆心 C2（﹣3，0），半径 R2＝1，
又因为 a＞7，所以圆心距|C1C2|＝6＜R1+R2＝a+1，所以圆 C2内含于圆 C1，如图 1，
因为动圆 M与圆 C1，圆 C2均相切，设圆 M的半径为 r，
分2种情况讨论：
①动圆 M与圆 C1内切，与圆 C2外切（r＜a），
则有 C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝1+r，
所以 C1M+C2M＝a+1，
即M的轨迹为以 C1，C2为焦点，长轴长为 a+1 的椭圆，
因为 P为△MC1C2的内心，设内切圆的半径为 r0，
又由 ，
则有所以 ×C1M×r0+ ×C2M×r0＝3× ×C1C2×r0，
所以 C1M+C2M＝3C1C2，
所以 3C1C2＝18＝a+1，
所以 a＝17，
②圆C2内切于动圆 M，动圆 M内切于圆 C1，
则有 C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝r1﹣，
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