黑龙江省大庆铁人中学2022-2023学年高三上学期第一次月考试题 数学答案

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1-12 BCCAD ACBCA AB
13.
1
3
14. 15.
❑
√
5
5
16.
17.
¿
本小题
10
分
¿
设
Sn
是等比数列
{an}
的前
项和，
a1=1
，且
S1
，
S3
，
S2
成等差数列．
(1)
求
{an}
的通项公式
;
(2)
求使
Sn⩽3an
成立的
n
的最大值．
【答案】解：
(1)
设等比数列
{an}
的公比为
q(q ≠ 0)
，因为
S1
，
S3
，
S2
成等差数列，所以
2S3=S1+S2
，
所以
2(a1+a2+a3)=a1+(a1+a2)
，所以
a2+2a3=a2+2a2q=0
，
因为
a2≠0
，所以
q=−1
2
，所以
{an}
的通项公式为
an=¿
．
(2)
由
(1)
得
Sn=1x1−¿¿
，由
Sn≤3an
，得
2
3¿
，
即
¿
，当
n
为偶数时，
¿
，舍去．当
n
为奇数时，
¿
，
所以
n −1≤2
，即
n ≤ 3.
所以使
Sn≤3an
成立的
n
的最大值是
3
．<
18.某公司对
400
名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用．公司对
400
名求
职员工的测试得分
¿
测试得分都在
[75,100]
内
¿
进行了统计分析，得分不低于
90
分为“优”，得分
低于
90
分为“良”，得到如下的频率分布直方图和
2×2
列联表．
男 女 合计
优
¿
得分不低于
90
分
¿
80
良
¿
得分低于
90
分
¿
120
合计
400
(1)
完成上面的
2×2
列联表，并依据
α=0.05
的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优
良与否与性别有关联；
(2)
该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以
获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案，按照表中得分为优秀的男女比例分层抽
取
9
个人的样本，并在
9
人中再随机抽取
5
人进行调查，记
5
人中男性的人数为
X
，求
X
的分布
列以及数学期望．
参考公式：
χ2=n(ad −bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), n=a+b+c+d
．
α
0.15
1
0.05
0.01
xa
2.072
2.706
3.841
6.635
解：
(1)
得分不低于
90
分的人数为：
400 ×(0.04 +0.02)×5=120
，所以填表如下：
男 女 合计
优
¿
得分不低于
90
分
¿
80
40
120
良
¿
得分低于
90
分
¿
160
120
280
合计
240
160
400
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2=400 ¿¿
，
所以依据小概率值
α=0.05
的独立性检验，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联．
(2)
得分为优秀的男女比例为
80 : 40=2 : 1
，所以
9
人中男性有
6
人，女性有
3
人．
因此
X
的可能值为
2
，
3
，
4
，
5P(X=2)=C6
2C3
3
C9
5=15
126 =5
42 ; P(X=3)= C6
3C3
2
C9
5=60
126 =10
21 ; P(X=4)= C6
4C3
1
C9
5=45
126 =5
14 ; P(X=5)= C6
5C3
0
C9
5=6
126 =1
21
所以
X
的分布列为：
X
2
3
4
5
P
5
42
10
21
5
14
1
21
X
的数学期望为：
E(X)=2×15
126 +3×60
126 +4×45
126 +5×6
126 =10
3
．<
19.
¿
本小题
12.0
分
¿
在
△ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边长分别为
a
，
b
，
c
，且满足
2c
b=1+tan A
tan B
．
(1)
求角
A
；
(2)
角
A
的内角平分线交
BC
于点
M
，若
a=4❑
√
7
，
AM =3❑
√
3
，求
sin ∠AMC
．
解：
(1)
因为
2c
b=1+tanA
tanB
，在
△ABC
中，由正弦定理可得
2sinC
sinB =1+tanA
tanB
，
化简可得
2sinCcosA=sin(A+B)
，因为
A+B=π −C
，所以
cosA =1
2
，所以
A=π
3
．
(2)
由
S△ABC=S△ABM +S△ACM
，得
1
2bc sin A=1
2⋅AM ⋅bsin ∠CAM +1
2⋅AM ⋅csin ∠BAM
，
即
1
2bc sin π
3=1
2⋅AM ⋅bsin π
6+1
2⋅AM ⋅csin π
6
，化简得
bc=3(b+c)
．
①
又由余弦定理得，
a2=b2+c2−2bc cos A
，化简得
b2+c2−bc=112 ②
联立
① ②
，解得
b+c=16
，
bc=48
，所以
b=4
，
c=12
或
b=12
，
c=4
．
当
b=4
，
c=12
时，
在
△ACM
中，由余弦定理得
C M2=42+¿
，所以
CM =❑
√
7
．
由正弦定理得
AC
sin ∠AMC =CM
sin ∠CAM
，代入算得
sin ∠AMC=2❑
√
7
7
．
当
b=12
，
c=4
时，
在
△ACM
中，由余弦定理得
C M2=122+¿
，所以
CM =3❑
√
7
．
由正弦定理得
AC
sin ∠AMC =CM
sin ∠CAM
，代入算得
sin ∠AMC=2❑
√
7
7
．
¿
也可在
△ABM
中，同理算得
sin ∠AMB=2❑
√
7
7
，然后推得
¿
<
20.
¿
本小题
12.0
分
¿
如图，在三棱柱
ABC − A1B1C1
中，侧面
A A1C1C⊥
底面
ABC
，侧面
A A1C1C
是菱形，
∠A1AC=60∘
，
∠ACB=90∘
，
AC=BC=2
．
(1)
若
D
为
A1C
的中点，求证：
AD⊥A1B
；
(2)
求二面角
A − A1C − B1
的正弦值．
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