黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高一下学期4月月考试题 数学参考答案

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铁人中学 2021 级高一下学期月考考试数学参考答案
一．选择题（60 分）
二．填空题（20 分）
13.
(
−∞,−6
)
∪
(
−6,3
2
)
14.
−3
2
15.
√
15
2
16.
[
8,12
]
三．解答题（70 分）
17. （10 分）
解： (1)因为复数 ，其中 ，
所以 ，解得：m=6.
(2)
因为 在复平面内对应的点为 ，
所以 z在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点 .
由题意得： ，解得： .
即m的取值范围为 .
18.（12 分）解：(1)当三向量两两夹角为 0 时，
|
⃗
a+
⃗
b+
⃗
c|
=
4
√
5
当三向量两两夹角为
2
3π
时，
=
√
5
(2)若 a＋2b与2a－b垂直，则(a＋2b)(2a－b)＝0，即 2a2＋3ab－2b2＝0．于是 ab＝ ，
从而 cosθ＝ ＝－1，所以 θ＝π．
19. （12 分）（1）
⃗
BN =
⃗
AN−
⃗
AB
，
⃗
BN 2=
(
1
2
⃗
AC −
⃗
AB
)
2
=21
4
，
|
⃗
BN|=
√
21
2
（2）
⃗
AM =1
2(
⃗
AB+
⃗
AC )
，
|
⃗
AM|2=1
4
(
⃗
AB+
⃗
AC
)
2=39
4
，
|
⃗
AM|=
√
39
2
又因为
⃗
AM⋅
⃗
BN =1
2
(
⃗
AB+
⃗
AC
)
⋅
(
1
2
⃗
AC −
⃗
AB
)
=3
所以
cos ∠MPN=
⃗
AM⋅
⃗
BN
|
⃗
AM||
⃗
BN|=4
√
91
，
sin ∠MPN =5
√
273
91
.
20. （12 分）（1）∵ ，∴由正弦定理得 ，
∴， ， ．
∴，
∴时， 取得最大值 3，
此时 ，又 ，则 ， 是直角三角形；
（2）由（1）知 ，
∴，
∴，当且仅当 时等号成立，∴ ，
又 ，∴ ，
∴三角形周长的取值范围是 ．
21. （12 分）解：(1)依题意，在△ABD 中，∠DAB＝45°．由余弦定理得
DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos45°＝200，所以 DB＝10 ，即此时该外国船只与 岛的距离为
n mile．
(2)过点 作 于点 ．在 Rt△ABC 中，AC＝BC＝8，所以 CD＝AD－AC＝6．
以 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，连接 AE，DE．
D
10 2
B
BC AD
C
D
12
BC
E
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A A D C B D AC AC BCD ACD
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