黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高二下学期期中考试 数学

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铁人中学 2020 级高二学年下学期期中考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分 150
分，答题时间 120
分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合
A=
{
−2,0
}
, B={x∨x2−2x=0}
，则以下结论正确的是（ ）
A． B. C. D．
2.（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知随机变量 ，
P
(
X ≤ 4
)
=0.8
，那么
P
(
0≤ X ≤ 4
)
=¿
（ ）
A．0.2 B．0.6 C．0.4 D．0.8
4.某种产品的投入 x（单位：万元）与收入 y（单位：万元）之间的关系如表：
x2 4 5 6 8
y30 40 60 50 70
若已知 y与x的线性回归方程为
^y
＝6.5x+17.5，那么当投入为 4 万元时，收入的随机误差为
（　　）万元．
A．﹣4.5 B．4.5 C．3.5 D．﹣3.5
5.将
4
个相同的小球放入编号为
1
，
，
3
，
4
的四个盒子中，恰好有两个空盒的方法数（ ）
A.
18
B.
84
C.
24
D.
120
6.10 张奖券中有 4 张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖
券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（　　）
A． B． C． D．
7.甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为 30%，乙校成绩的优秀率为 35%，现
将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的 40%，乙校参加考试的人数
占总数的 60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（ ）
A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33
8.在
¿
的展开式中，
x3
的系数为（ ）
A.
−40
B.
160
C.
120
D.
200
9. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概
率均为
1
3
，各局比赛结果相互独立且没有平局，则甲获得冠军的概率为（ ）
A.
1
9
B.
4
27
C.
7
27
D.
20
27
10.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6 中任取 2 个数字,一共可以组成没有重复数字的四位
偶数的个数是（ ）
A.360 B.396 C.432 D.756
11.（多选）已知
(a x2+1
❑
√
x)
n
(a>0)
的展开式中第
5
项与第
7
项的二项数系数相等，且展开式的
各项系数之和为
1024
，则下列说法正确的是（ ）
A.展开式中有理项有 6 项 B.展开式中第
6
项的系数最大
C.展开式中奇数项的二项式系数和为
256
D.展开式中含
x15
项的系数为
45
12.（多选）甲罐中有
5
个红球，
2
个白球和
3
个黑球，乙罐中有
4
个红球，
3
个白球和
3
个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以
A1
，
A2
和
A3
表示由甲罐取出的球是红球，白
球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以
B
表示由乙罐取出的球是红球的事件，则
下列结论中正确的是（ ）
A.
P(B)= 2
5
B.
P(B∨A1)= 5
11
C.
P(A1∨B)= 5
9
D.
A1
，
A2
，
A3
是两两互斥的事件
第 II 卷（非选择题、共 90 分）
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. 设随机变量 ，若 ，则
D
(
3X+1
)
=¿
_________。
14. 某教育局安排 4 名骨干教师分别到 3 所农村学校支教，若每所学校至少安排 1 名教师，
且每名教师只能去一所学校，则不同的安排方案有___________种。(用数字作答)
15.若
x，
y均为正实数，且
2
2x+y+1
x+3y=1
；则
x+y
的最小值为________。
16.下列命题中结论正确的是________________。
(1)对两个变量
,x y
进行回归分析，若所有样本点都在直线y=-2x+1 上,则 r
=
1;
(2)对两个变量
,x y
进行回归分析，以模型
y=cekx
去拟合一组数据时，为了求出回归方程，
设
z=ln y
，将其变换后得到线性方程
z=0.3 x+4
，则
c
，
k
的值分别是
e4
和
0.3
；
(3)某人投篮一次命中的概率为
1
3
，某次练习他进行了 20 次投篮，每次投篮命中与否没有影响，
设本次练习他投篮命中的次数为随机变量 ，则当 P(X=k)（
k
=1,2,…,20）取得最大值时，
X=6
。
(4)已知
(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7
，则
a1+2a2+⋅⋅⋅+7a7=−14
三、解答题：(共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17.（本小题满分 10 分）
随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我
国逐渐进入老龄化社会后，整个社会需要回答的问题．为了调查某地区老年人是否愿意参加养
老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如下：
是否愿意参加 男 女
不愿意 50 50
愿意 150 250
（1）若把频率作为概率，估计该地区男性老年人中，愿意参加养老机构男性老年人的概率；
（2）依据小概率值
0.025
的独立性检验，能否认为该地区的老年人是否愿意参加养老机构
与性别有关？
附：
 
 
2
2n ad bc
a b c d a c b d
   
．
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
x
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.（本小题满分 12 分）
从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第
i
个家庭的月收入
i
x
(单位:千元)与月储蓄
i
y
(单位:
千元)的数据资料,算得
（1）求家庭的月储蓄
y
对月收入
x
的线性回归方程
y bx a 
;
（2）利用（1）中的回归方程，预测当该居民区某家庭月收入为 7 千元,该家庭的月储蓄额.
附:线性回归方程系数公式.
y bx a 
中,
1
2
2
1
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
,
a y bx 
,其中
x
,
y
为样本平均值.
19.（本小题满分 12 分）
袋中装有黑色球和白色球共 7 个，从中任取 2 个球都是白色球的概率为.现有甲、乙两人
从袋中轮流摸出 1 个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸
到白色球后终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用
X
表示摸球终止时所需摸球
的次数．
（1）求随机变量
X
的分布列和均值
E
(
X
)；
（2）求甲摸到白色球的概率．
20.（本小题满分 12 分）
已知函数
f(x)=x −(a+1)lnx − a
x(a∈R)
，
g(x)= 1
2x2+ex− x ex
．
（1）当
x∈[1, e]
时，求
f(x)
的最小值；
（2）当
a<1
时，若存在
x1∈[e ,e2]
，使得对任意的
x2∈[−2,0 ]
，
f(x1)<g(x2)
恒成立，
求
a
的取值范围．
21. （本小题满分 12 分）
某商场举行有奖促销活动，顾客消费每满 400 元，均可抽奖一次．抽奖箱里有 3 个红球和
3 个白球，这些球除颜色外完全相同．抽奖方案有如下两种，顾客自行选择其中的一种．
方案一：从抽奖箱中，有放回地每次摸取 1 个球，连摸 2 次，每摸到 1 次红球，获现金100 元．
方案二：从抽奖箱中，一次性摸出 2 个球，若摸出 2 个红球，则获现金200 元；若摸出 1 个红
球，则获现金100 元；若没摸出红球，则不获得钱．
（1）若顾客消费满 400 元，且选择抽奖方案一，求他所获奖金
X
的分布列和期望；
（2）若顾客消费满 800 元，且选择抽奖方案二，求他恰好获得 200 元奖金的概率；
（3）写出抽奖一次两种方案所获奖金期望的大小关系．（直接写出结果）
22.（本小题满分 12 分）
已知函数f
(
x
)
=axlnx (a∈R)
(1)当a=1时 ，若 对任意的x ≥ e , 都有xf
(
x
)
≥m e
m
x
(
m>0
)
， 求m的最大值
(
2
)
若函数g
(
x
)
=f
(
x
)
+x2有且只有两个不同的零点 x1, x2,求证：x1x2>e2
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