黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高二下学期开学考试 数学答案

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铁人中学 2020 级高二学年下学期开学考试
数学试题答案
一、1-6 CBDBDD BADDAC
二、13 -1 14 15 5 16
三、17.（1）由已知，有 ，解得
所以
（2）因为 ，所以
所以
18.（1）依题意知函数定义域为{
x
|
x
>0}，∵
f
′(
x
)＝2
x
-2 = ，由
f
′(
x
)>0， 得 x>1;
由
f
′(
x
)<0， 得 0<x<1 ，∴
f
(
x
)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)
（2）设
g
(
x
)＝f（x）-3x+4=
x
2－2ln
x
-3x+4， ∴
g
′(
x
)＝2
x
-2 --3= ，
∵当
x
>2 时，
g
′(
x
)>0， ∴
g
(
x
)在(2，＋∞)上为增函数， ∴
g
(
x
)>
g
(2)＝4-2ln2-6+4>0，
∴当
x
>2 时，
x
2-2lnx>3x-4, 即当
x
>2 时 ..
19. 解：因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面 ，所以
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 平面 ．所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
所以 ，
．由题设 （ ）．
（1）因为 ，
所以 ，所以 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ．令 ，则
因为平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ．
当 时， 取最小值为 ，此时 取最大值为 ．
所以 ，此时 ．
20.（1）证明：当 ；
，两式相减得：
又 ，所以数列 为以 1 为首项，3 为工笔的等比数列
（2） ，由此可得
因为 n 为正整数，所以 >0 所以
21. 解：（1）椭圆
C
的离心率为 ，由过 且垂直于
x
轴的直线被椭圆
C
截得的弦长为 1，
将 代入椭圆
C
方程，得 ，即 ，
所以 解得 椭圆
C
的方程为 ；
（2）由题意可知直线
l
的斜率不为 0，
则设直线
l
的方程为 ， ， ，
联立 得 ，
， ， ，
面 积 ，
，
设 ， ， ，
，当 ， 时取得“=”，所以 ， ，
所以 面积的最大值为 1．
22（1）函数 的定义域为 R，求导得：
当 时，当 时， ，当 时， ，则 在 上单调递减，在
上单调递增，
当 时，令 ，得 ，
若 ，即 时， ，则有 在 R 上单调递增，
若 ，即 时，当 或 时， ，当 时，
，
则有 在 ， 上都单调递增，在 上单调递减，
若 ，即 时，当 或 时， ，当 时， ，
则有 在 ， 上都单调递增，在 上单调递减，
所以，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
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