专题41 几何问题（1）之动点问题【热点专题】（解析版）-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）

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题型一：圆背景下的动态探究题
【例 1】（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：
“水
能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转
5
6
圈，筒车与水面分别交于点
A、
B筒车的轴心 O距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 P刚
浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒 P首次到达最高点？
（2）浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P距离水面多高？
（3）若接水槽 MN 所在直线是⊙O的切线，且与直线 AB 交于点 M，MO＝8m．求盛水筒 P从最高点开始，
至少经过多长时间恰好在直线 MN 上．
（参考数据：cos43°＝sin47°
≈11
15
，sin16°＝cos74°
≈11
40
，sin22°＝cos68°
≈3
8
）
【分析】（1）如图 1中，连接 OA．求出∠AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问题．
（2）如图 2中，盛水筒 P浮出水面 3.4 秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，过点 P作PD⊥OC 于D，解
直角三角形求出 CD 即可．
（3）如图 3中，连接 OP，解直角三角形求出∠POM，∠COM，可得∠POH 的度数即可解决问题．
【解析】（1）如图 1中，连接 OA．
专题 41 几何问题（1）之动点问题
题型精讲
由题意，筒车每秒旋转 360°
×5
6÷
60＝5°，
在Rt△ACO 中，cos∠AOC
¿OC
OA =2.2
3=11
15
．
∴∠AOC＝43°，
∴
27.4（秒）．
答：经过 27.4 秒时间，盛水筒 P首次到达最高点．
（2）如图 2中，盛水筒 P浮出水面 3.4 秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，
∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝43°+17°＝60°，
过点 P作PD⊥OC 于D，
在Rt△POD 中，OD＝OP•cos60°＝3
×1
2=¿
1.5（m），
2.2 1.5﹣ ＝0.7（m），
答：浮出水面 3.4 秒后，盛水筒 P距离水面 0.7m．
（3）如图 3中，
∵点P在⊙O上，且 MN 与⊙O相切，
∴当点 P在MN 上时，此时点 P是切点，连接 OP，则 OP⊥MN，
在Rt△OPM 中，cos∠POM
¿OP
OM =3
8
，
∴∠POM＝68°，
在Rt△COM 中，cos∠COM
¿OC
OM =2.2
8=11
40
，
∴∠COM＝74°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180° 68° 74°﹣ ﹣ ＝38°，
∴需要的时间为
38
5=¿
7.6（秒），
答：盛水筒 P从最高点开始，至少经过 7.6 秒恰好在直线 MN 上．
【例 2】（2020•苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT 是∠MON 的平分线，A是射线 OM 上一点，OA＝
8cm．动
点P从点 A出发，以 1cm/s的速度沿 AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 Q从点 O出发，也以 1cm/s
的速度沿 ON 竖直向上作匀速运动．连接 PQ，交 OT 于点 B．经过 O、P、Q三点作圆，交 OT 于点 C，连
接PC、QC．设运动时间为 t（s），其中 0＜t＜8．
（1）求 OP+OQ 的值；
（2）是否存在实数 t，使得线段 OB 的长度最大？若存在，求出 t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形 OPCQ 的面积．
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