专题39 几何最值之阿氏圆问题【热点专题】（解析版）-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）

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问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B两点，点 P满足 PA:PB=k（k≠1），

则满足条件的所有的点 P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称

“阿氏圆”。

模型展示：如下图，已知 A、B两点，点 P满足 PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点 P构成的图形

为圆．

（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则．

证明：，，即

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角 CAE 的角平分线 AD 交BC 的延长线于点 D，则

．

专题 39 几何最值之阿氏圆问题

方法技巧

证明：在 BA 延长线上取点 E使得 AE=AC，连接 BD，则△ACD AED≌△ （SAS），CD=ED 且

AD 平分∠BDE，则，即．

接下来开始证明步骤：

如图，PA：PB=k，作∠APB 的角平分线交 AB 于M点，根据角平分线定理，，

故M点为定点，即∠APB 的角平分线交 AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线 AB 于N点，根

据外角平分线定理，，故 N点为定点，即∠APB 外角平分线交直线 AB 于定点；又

∠MPN=90°，定边对定角，故 P点轨迹是以 MN 为直径的圆．

模型最值技巧：

计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点 P使得的值最小，解决步骤具体如下：

① 如图，将系数不为 1的线段两端点与圆心相连即 OP，OB

② 计算出这两条线段的长度比

③ 在 OB 上取一点 C，使得，即构造△POM BOP∽△ ，则，

④ 则，当 A、P、C三点共线时可得最小值

【例 1】如图，已知正方 ABCD 的边长为 4，圆 B的半径为 2，点 P是圆 B上的一个动点，则的

最大值为_______．

【分析】当 P点运动到 BC 边上时，此时 PC=2，根据题意要求构造，在 BC 上取 M使得此时 PM=1，

则在点 P运动的任意时刻，均有 PM= ，从而将问题转化为求 PD-PM 的最大值．

题型精讲

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