专题37 几何最值之费马点问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（原卷版）

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问题分析
“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：
（1）当三角形三个内角都小于 120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转 60 度，从而将“不等三爪
图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于 120°时，费马点就是此内角的顶点.
费马点问题解题的核心技巧：
旋转 60° 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段最
短求解问题
模型展示：如图，在△ABC 内部找到一点 P，使得 PA＋PB＋PC 的值最小.
当点 P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则 PA＋PB＋PC 的值最小，P点称为三角形的费马点.
特别地，△ABC 中，最大的角要小于 120º，若最大的角大于或等于 120º，此时费马点就是最大角的顶点 A
（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于 120°）
费马点的性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120°。
最值解法：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程：
专题 37 几何最值之费马点问题
方法技巧
将△APC 边以 A为顶点逆时针旋转 60°，得到 AQE，连接 PQ，则△APQ 为等边三角形，PA=PQ。
即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当 B、P、Q、E四点共线时取得最小值 BE
【例 1】如图，四边形 是菱形， B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接
AM，BM，CM，则 AM+BM+CM 的最小值为________．
【例 2】如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M为对角线 BD（不含 B点）上任意一点，
将BM 绕点 B逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM.
（1）求证：△AMB ENB≌△ ；
（2）①当 M点在何处时，AM＋CM 的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由；
（3）当 AM＋BM＋CM 的最小值为
√
3+1
时，求正方形的边长.
1．如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M为矩形内一点，点 E为BC 边上任意一点，则
E
A D
B C
N
M
提分作业
题型精讲
MA+MD+ME 的最小值为______．
A
B
C
D
M
2．如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC= ABE=60°∠，G为对角线 BD（不含 B点）上任意一点，
将△ABG 绕点 B逆时针旋转 60°得到△EBF，当 AG+BG+CG 取最小值时 EF 的长（　　）
A．B．C．D．
3．如 图 ， 已 知 矩 形 ABCD ，AB=4 ，BC=6 ， 点 M为 矩 形 内 一 点 ， 点 E为BC 边 上 任 意 一 点 ， 则
MA+MD+ME 的最小值为______．
A
B
C
D
M
E
F
G
E
M
D
C
B
A
H
F
G
E
M
D
C
B
A
4．已知正方形 ABCD 内一动点 E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 ，求正方形的边长．
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