《【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)》专题07 数列求和-错位相减、裂项相消(原卷版)
专题 07 数列求和-错位相减、裂项相消
◆错位相减法
错位相减法是求解由等差数列 和等比数列 对应项之积组成的数列 (即)的前 项和
的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,
其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项 其实可以看成等差数列通项 与等比数列通
项 的积.
公式秒杀:
( 错位相减都可化简为这种形式 , 对于求解参数 与, 可以采用将前
1
项和与前
2
项
和代入式中 , 建立二元一次方程求解 . 此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据 .)
【经典例题 1】设数列 的前 n项和为 ，若 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 n项和 ．
【经典例题 2】已知等差数列 的前 n项和为 ，数列 为等比数列，且 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 n项和 ．
【经典例题 3】已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【练习 1】已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【练习 2】已知数列 的前 n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 n项和 ．
【练习 3】已知数列 的前 n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 n项和 ．
【练习 4】已知数列 满足 ， （ ）.
(1)求证数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
◆裂项相消法
把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面
保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第 3项,相应的也要保留最后一项和
倒数第三项.
常见的裂项形式:
(1) ;
(2) ;
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2025-05-28 113
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