《【满分冲刺】2022年高考数学必考重点题型技法突破》题型04 统计与概率解答题（独立性检验、分布列、回归方程及决策方案设计）（解析版）

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统计案例
目录
一、独立性检验.....................................................................................................................................................................1
二、三种分布的应用.............................................................................................................................................................6
..............................................................................................................................................................................................12
三、回归方程及应用..........................................................................................................................................................12
四、决策问题与最优化问题..............................................................................................................................................23
..............................................................................................................................................................................................25
一、独立性检验
独立性检验的一般步骤
①根据样本数据制成 2×2列联表；
②根据公式 K2＝计算 K2的值；
③查表比较 K2与临界值的大小关系，作出统计判断．
1、某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或
不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝.
P(K2≥k)0.050 0.010 0.001
k3.841 6.635 10.828
【解】　(1)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意
的概率的估计值为 0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6.
(2)K2＝≈4.762.
由于 4.762＞3.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
2、某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成
绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在 40 分以下的学生后，共有男生 300 名，女生 200 名。现采用分层抽
样的方法，从中抽取了 100 名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为 6组，得到如下所示频数分
布表。
分数段 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
男3 9 18 15 6 9
女6 4 5 10 13 2
(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是
否有关；
(2)规定 80 分以上为优分(含80 分)，请你根据已知条件作出 2×2列联表，并判断是否有 90%以上的把握认
为“数学成绩与性别有关”。
优分 非优分 总计
男生
女生
总计 100
附表及公式
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k02.706 3.841 6.635 10.828
K2＝
【解析】　(1)x男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，
x女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，
从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关。
(2)由频数分布表可知：在抽取的 100 名学生中，“男生组”中的优分有 15 人，“女生组”中
的优分有 15 人，据此可得 2×2列联表如下：
优分 非优分 总计
男生 15 45 60
女生 15 25 40
总计 30 70 100
可得 K2＝≈1.79，
因为 1.79<2.706，所以没有 90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”。
3、为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，已知该校共有学生 960 人，
其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为 n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下表：
超过 1小时 不超过 1小时
男20 8
女12 m
(1)求m，n的值；
(2)能否有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1小时与性别有关？
附：
P(K2≥k)0.050 0.010 0.001
k3.841 6.635 10.828
K2＝
解：(1)由已知，该校有女生 400 人，故＝，得m＝8，
从而 n＝20＋8＋12＋8＝48.
(2)作出 2×2列联表如下：
超过 1小时的人数 不超过 1小时的人数 总计
男20 8 28
女12 8 20
合计 32 16 48
K2＝＝≈0.685 7＜3.841.
所以没有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1小时与性别有关．
4、读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是
承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了 名学生进行调查，根据调查得
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