《2022年高考数学一轮复习配套练习（新高考地区专用）》9.6 三定问题及最值问题（提升）（原卷版）

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9.6 三定问题及最值问题（提升）

1．（2021·上海黄浦·格致中学高三月考）已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直

线的距离等于点到点的距离的 2 倍，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分

别为，求的数值；

（3）设点为曲线的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积

为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理

由．

2．（2021·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高三月考（理））椭圆

与抛物线有一个公共焦点且经过点 .

（1）求椭圆的方程及其离心率；

（2）直线与椭圆相交于，两点，为原点，是否存在点满足，

，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由

3．（2021·上海闵行中学高三开学考试）如图，直线与抛物线相交于不同的两点

、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的

切线的切点为．

（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，

（2）求的面积（只与有关，与、无关）；

（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分

别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认

为小张能做到吗？请你说出理由．

4．（2021·广东荔湾·高三月考）已知抛物线：，点

在抛物线

上，点

在

轴的正

半轴上，等边的边长为 .

（1）求

的方程；

（2）若平行轴的直线交直线

于点

，交抛物线

于点，点

满足，，

判断直线

与抛物线

的位置关系，并说明理由.

5．（2021·河南驻马店·高三月考（理））已知曲线的方程为

，过且与轴垂直的直线被曲线截得的线段长为 .

（1）求曲线的标准方程；

（2）过点的直线交于，两点，已知点，直线，分别交轴于点， .

试问在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说

明理由.

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