《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题03 曲线的公切线方程(解析版)

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专题 03　曲线的公切线方程

【方法总结】

解决此类问题通常有两种方法

(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；

(2)设公切线 l在y＝f(x)上的切点 P1(x1，f(x1))，在 y＝g(x)上的切点 P2(x2，g(x2))，则 f′(x1)＝g′(x2)＝．

注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清

晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直

线与抛物线相切可用判别式法．

【例题选讲】

[例1](1)(2020·全国Ⅲ)若直线 l与曲线 y＝和圆 x2＋y2＝都相切，则 l的方程为(　　)

A．y＝2x＋1　　　　B．y＝2x＋

C．y＝x＋1　　　　D．y＝x＋

答案　D　解析　易知直线 l的斜率存在，设直线 l的方程 y＝kx＋b，则＝　①．设直线 l与曲线 y＝

的切点坐标为(x0，)(x0>0)，则 y′|x＝x0＝x0－＝k　②，＝kx0＋b　③，由②③可得 b＝，将 b＝，k＝x0－代

入①得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以 k＝b＝，故直线 l的方程 y＝x＋．

(2)已知 f(x)＝ex(e 为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线 l是f(x)与g(x)的公切线，则直线 l的方程为

．

答案　y＝ex或y＝x＋1　解析　设 l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则 y1＝，f′(x)＝ex，∴f′(x1)＝

，∴切点为(x1，)，切线斜率 k＝，∴切线方程为 y－＝ (x－x1)，即 y＝·x－＋，

①，同理设 l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，∴y2＝ln x2＋2，g′(x)＝，∴g′(x2)＝，切点为(x2，ln x2＋

2)，切线斜率 k＝，∴切线方程为 y－(ln x2＋2)＝(x－x2)，即 y＝·x＋ln x2＋1，②，由题意知，①与②相同，

∴把③代入④有－＋＝－x1＋1，即(1－x1)( －1)＝0，解得 x1＝1或x1

＝0，当 x1＝1时，切线方程为 y＝ex；当 x1＝0时，切线方程为 y＝x＋1，综上，直线 l的方程为 y＝ex或

y＝x＋1．

(3)曲线 C1：y＝ln x＋x与曲线 C2：y＝x2有________条公切线．

答案　1　解析　由y＝ln x＋x得y′＝＋1，设点(x1，ln x1＋x1)是曲线 C1上任一点，∴曲线 C1在点

(x1，ln x1＋x1)处的切线方程为 y－(ln x1＋x1)＝(x－x1)，即 y＝x＋ln x1－1．同理可得曲线 C2在点(x2，x)处

的切线方程为 y－x＝2x2(x－x2)，即 y＝2x2x－x．依题意知两切线重合，∴消去 x2得＋＋4ln x1－3＝0，①，

令f(x)＝＋＋4ln x－3(x>0) ，则 f′(x)＝－－＋＝＝，当 x∈(0,1) 时， f′(x)<0 ；当 x∈(1 ，＋ ∞ )时， f′

(x)>0，∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)只有一个零点．即方

程①只有一个解，故曲线 C1与C2只有 1条公切线．

(4)已知曲线 y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则 a＝．

答案　8　解析　方法一　因为 y＝x＋ln x，所以 y′＝1＋，y′|x＝1＝2．所以曲线 y＝x＋ln x在点(1，1)

处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1．因为 y＝2x－1与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以

a≠0(当a＝0时曲线变为 y＝2x＋1与已知直线平行)．由消去 y，得 ax2＋ax＋2＝0．由 Δ＝a2－8a＝0，解

得a＝8．

方法二　同方法一得切线方程为 y＝2x－1．设 y＝2x－1与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax

＋(a＋2)x0＋1)．因为 y′＝2ax＋(a＋2)，所以＝2ax0＋(a＋2)．由解得

(5) (2016·课标全国Ⅱ)若直线 y＝kx＋b是曲线 y＝lnx＋2的切线，也是曲线 y＝ex的切线，则 b＝

________．

答案　0或1　解析　设直线 y＝kx＋b与曲线 y＝ln x＋2的切点为(x1，y1)，与曲线 y＝ex的切点为

(x2，y2)，y＝ln x＋2的导数为 y′＝，y＝ex的导数为 y′＝ex，可得 k＝ex2＝．又由 k＝＝，消去 x2，可得(1＋

ln x1)·(x1－1)＝0，则 x1＝或 x1＝1，则直线 y＝kx＋b与曲线 y＝ln x＋2的切点为或(1,2)，与曲线 y＝ex的切

点为(1，e)或(0，1)，所以 k＝＝e或k＝＝1，则切线方程为 y＝ex或y＝x＋1，可得 b＝0或1．

(6)已知曲线 f(x)＝lnx＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，则实数 a的取值范围为．

答案　8　解析　设切线与 f(x)＝lnx＋1相切于点 P(x0，lnx0＋1)，f′(x0)＝，∴切线方程为 y－(lnx0＋1)

＝(x－x0)，即 y＝x＋lnx0，联立得 x2－x＋a－lnx0＝0，∴Δ＝2－4(a－lnx0)＝0，即＋＋1－4a＋4lnx0＝0，即

4a＝＋＋1＋4lnx0有解，令 φ(x)＝＋＋1＋4lnx(x>0)，φ′(x)＝－－＋＝＝，当 x∈(0，1)时，φ′(x)<0，当

x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(1)＝4，又

x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故 φ(x)的值域为[4，＋∞)，所以 4a≥4，即 a≥1，故实数 a的取值范围是[1，＋

∞)．

【对点训练】

1．若直线 l与曲线 y＝ex及y＝－x2都相切，则直线 l的方程为________．

1．答案　y＝x＋1　解析　设直线 l与曲线 y＝ex的切点为(x0，)，直线 l与曲线 y＝－x2的切点为

，因为 y＝ex在点(x0，)处的切线的斜率为 y′|x＝x0＝，y＝－在点处的切线的斜率为 y′|x＝x1＝|x＝

x1＝－，则直线 l的方程可表示为 y＝x－x0e＋或 y＝－x1x＋x，所以所以＝1－

x0，解得 x0＝0，所以直线 l的方程为 y＝x＋1．

2．已知函数 f(x)＝x2的图象在 x＝1处的切线与函数 g(x)＝的图象相切，则实数 a等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．e

2．答案　B　解析　由f(x)＝x2，得 f′(x)＝2x，则 f′(1)＝2，又 f(1)＝1，所以函数 f(x)＝x2的图象在 x＝1处

的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1．设 y＝2x－1与函数 g(x)＝的图象相切于点(x0，y0)，由 g′

(x)＝，可得解得 x0＝，a＝＝．

3．已知函数 f(x)＝＋1，g(x)＝alnx，若在 x＝处函数 f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数 a的值为(　　)[

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．4

3．答案　A　解析　由题意可知 f′(x)＝x－，g′(x)＝，由 f′()＝g′()，得×()－＝，可得 a＝，经检

验，a＝满足题意．

4．若 f(x)＝lnx与g(x)＝x2＋ax 两个函数的图象有一条与直线 y＝x平行的公共切线，则 a等于(　　)

A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．3或－1

4．答案　D　解析　设在函数 f(x)＝ln x处的切点为(x，y)，根据导数的几何意义得到 k＝＝1，解得 x＝

1，

故切点为(1，0)，可求出切线方程为 y＝x－1，此切线和 g(x)＝x2＋ax 也相切，故 x2＋ax＝x－1，化简

得到 x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足 Δ＝(a－1)2－4＝0，解得 a＝－1或a＝3．

5．若直线 y＝kx＋b是曲线 y＝lnx＋2的切线，也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝________．

5．答案　1－ln 2　解析　y＝lnx＋2的切线为 y＝·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为 x1)．y＝ln(x＋1)的切线为

y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为 x2)．∴解得 x1＝，x2＝－，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2．

6．已知 f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线 l与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，与 f(x)图象的切点为

(1，f(1))，则 m＝________．

6．答案　－2　解析　∵f′(x)＝，∴直线 l的斜率 k＝f′(1)＝1．又 f(1)＝0，∴切线 l的方程为 y＝x－1．g′

(x)

＝x＋m，设直线 l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有 x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜

0，∴m＝－2．

7．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上两函数的图象有公共点，

且在公共点处切线相同，则 m的值为(　　)

A．2　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0

7．答案　C　解析　根据题意，设两曲线 y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中 a>0，由 f(x)＝－2x2＋

m，可得 f′(x)＝－4x，则切线的斜率为 k＝f′(a)＝－4a，由 g(x)＝－3ln x－x，可得 g′(x)＝－－1，则切

线的斜率为 k＝g′(a)＝－－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－ 4a＝－－

1，解得 a＝1或a＝－(舍去)，又 g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入 f(x)＝－

2x2＋m，可得 m＝1．

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