《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二)(解析版)

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专题 07　构造函数法解决导数不等式问题(二)

考点四　构造 F(x)＝f(x)±g(x)，F(x)＝f(x)g(x)，F(x)＝类型的辅助函数

【方法总结】

(1)若F(x)＝f(x)＋axn＋b，则 F′(x)＝f′(x)＋naxn－1；

(2)若F(x)＝f(x)±g(x)，则 F′(x)＝f′(x)±g′(x)；

(3)若F(x)＝f(x)g(x)，则 F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(4)若F(x)＝，则 F′(x)＝．

由此得到结论：

(1)出现 f′(x)＋naxn－1形式，构造函数 F(x)＝f(x)＋axn＋b；

(2)出现 f′(x)±g′(x)形式，构造函数 F(x)＝f(x)±g(x)；

(3)出现 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)形式，构造函数 F(x)＝f(x)g(x)；

(4)出现 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)形式，构造函数 F(x)＝．

【例题选讲】

[例1](1)函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝3，对任意 x∈R，f′(x)<3，则 f(x)>3x＋6的解集为(　　)

A．{x|－1<x<1}　　　　　B．{x|x>－1}　　　　　C．{x|x<－1}　　　　　D．R

答案　C　解析　设 g(x)＝f(x)－(3x＋6)，则 g′(x)＝f′(x)－3<0，所以 g(x)为减函数，又 g(－1)＝f(－1)

－3＝0，所以根据单调性可知 g(x)>0 的解集是{x|x<－1}．

(2)定义在 R上的函数 f(x)满足 f(1)＝1，且对∀x∈R，f′(x)＜，则不等式 f(log2x)＞的解集为________．

答案　(0，2)　解析　构造函数 F(x)＝f(x)－x，则 F′(x)＝f′(x)－＜0，∴函数 F(x)在R上是减函数．由

f(1)＝1，得 F(1)＝f(1)－＝1－＝，∴f(log2x)＞⇔f(log2x)－log2x＞⇔F(log2x)＞F(1)⇔log2x＜1⇔0＜x＜2．

(3)定义在 R上的可导函数 f(x)满足 f(1)＝1，且 2f′(x)>1，当 x∈时，不等式 f(2cos x)>－2sin2的解集为(

)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

答案　D　解析　令 g(x)＝f(x)－－，则 g′(x)＝f′(x)－>0，∴g(x)在R上单调递增，且 g(1)＝f(1)－－＝

0，∵f(2cos x)－＋2sin2＝f(2cos x)－－＝g(2cos x)，∴f(2cos x)>－2sin2，即 g(2cos x)>0，∴2cos x>1，又

x∈，∴x∈．

(4)f(x)是定义在 R上的偶函数，当 x≥0 时，f′(x)＞2x．若 f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数 a的取值范围是

(　　)

A．(－∞，1]　　　　　B．[1，＋∞)　　　　　C．(－∞，2]　　　　　D．[2，＋∞)

答案　A　解析　令 G(x)＝f(x)－x2，则 G′(x)＝f′(x)－2x．当 x∈[0，＋∞)时，G′(x)＝f′(x)－2x＞

0，∴G(x)在[0，＋∞)上是增函数．由 f(a－2)－f(a)≥4－4a，得 f(a－2)－(a－2)2≥f(a)－a2，即 G(a－

2)≥G(a)，又 f(x)是定义在 R上的偶函数，知 G(x)是偶函数．故|a－2|≥|a|，解得 a≤1．

(5)已知 f′(x)是函数 f(x)的导数，且 f(－x)＝f(x)，当 x≥0 时，f′(x)>3x，则不等式 f(x)－f(x－1)<3x－的解

集是(　　)

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．

答案　D　解析　设g(x)＝f(x)－x2，则 g′(x)＝f′(x)－3x．因为当 x≥0 时，f′(x)>3x，所以当 x≥0 时，g′

(x)＝f′(x)－3x>0，即 g(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为 f(－x)＝f(x)，所以 g(－x)＝f(－x)－x2＝f(x)－x2＝

g(x)，所以 g(x)是偶函数．因为 f(x)－f(x－1)<3x－，所以 f(x)－x2<f(x－1)－(x－1)2，即 g(x)<g(x－1)，所以

g(|x|)<g(|x－1|)，则|x|<|x－1|，解得 x<．故选 D．

(6)设f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导数，当 x>0 时，f(x)＋f′(x)·xlnx<0，则不等式(x－1)f(x)>0 的解集为__

______．

答案　(0，1)　解析　由于函数 y＝f(x)为R上的奇函数，则 f(0)＝0．当 x>0 时，f(x)＋f′(x)·xlnx<0，

则f(1)<0．当 x>0 时，构造函数 g(x)＝f(x)lnx，则 g′(x)＝f′(x)lnx＋f(x)·＝<0，所以函数 y＝g(x)在区间(0，＋

∞)上单调递减，且 g(1)＝0．当 0<x<1 时，lnx<0，g(x)>g(1)＝0，即 f(x)lnx>0，此时 f(x)<0；当 x>1 时，

lnx>0，g(x)<g(1)＝0，即 f(x)lnx<0，此时 f(x)<0．又 f(1)<0，所以当 x>0 时，f(x)<0．由于函数 y＝f(x)为R

上的奇函数，当 x<0 时，f(x)>0．对于不等式(x－1)f(x)>0，当 x<0 时，x－1<0，则 f(x)<0，不符合题意；

当0<x<1 时，x－1<0，则 f(x)<0，符合题意；当 x>1 时，x－1>0，则 f(x)>0，不符合题意．综上所述，不

等式(x－1)f(x)>0 的解集为(0，1)．

(7)(多选)定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且(x＋1)f′(x)－f(x)＜x2＋2x对任意 x∈(0，＋

∞)恒成立．下列结论正确的是(　　)

A．2f(2)－3f(1)＞5　　　　　　　　　　　　B．若 f(1)＝2，x＞1，则 f(x)＞x2＋x＋

C．f(3)－2f(1)＜7　　　　　　　　　　　　D．若 f(1)＝2，0＜x＜1，则 f(x)＞x2＋x＋

解析　CD　答案　设函数 g(x)＝，则 g′(x)＝．因为(x＋1)f′(x)－f(x)＜x2＋2x对任意 x∈(0，＋∞)恒成

立，所以 g′(x)＜0，故 g(x)在(0，＋∞)上单调递减，从而 g(1)＞g(2)＞g(3)，整理得 2f(2)－3f(1)＜5，f(3)－

2f(1)＜7，故 A错误，C正确．当 0＜x＜1时，若 f(1)＝2，因为 g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以 g(x)＞

g(1)＝，即＞，即 f(x)＞x2＋x＋，故 D正确，从而 B不正确．即结论正确的是 CD．

(8)已知函数 f(x)，对∀x∈R，都有 f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上，f′(x)<x，若 f(4－m)－f(m)≥8－

4m，则实数 m的取值范围为(　　)

A．[－2，2]　　　　B．[2，＋∞)　　　　C．[0，＋∞)　　　　D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

答案　B　解析　因为对∀x∈R，都有 f (－x)＋f (x)＝x2，所以 f (0)＝0，设 g(x)＝f (x)－x2，则 g(－x)

＝f (－x)－x2，所以 g(x)＋g(－x)＝f (x)－x2＋f (－x)－x2＝0，又 g(0)＝f (0)－0＝0，所以 g(x)为奇函数，且 f

(x)＝g(x)＋x2，所以 f (4－m)－f (m)＝g(4－m)＋(4－m)2－＝g(4－m)－g(m)＋8－4m≥8－4m，则 g(4－m)－

g(m)≥0，即 g(4－m)≥g(m)．当 x>0 时，g′(x)＝f ′(x)－x<0，所以 g(x)在(0，＋∞)上为减函数，又 g(x)为奇函

数，所以 4－m≤m，解得 m≥2．

(9)已知函数 y＝f(x)是R上的可导函数，当 x≠0 时，有 f′(x)＋>0，则函数 F(x)＝xf(x)＋的零点个数是(

)

A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3

答案　B　解析　依题意，记 g(x)＝xf(x)，则 g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，g(0)＝0，当 x>0 时，g′(x)＝x[f′(x)

＋]>0，g(x)是增函数，g(x)>0；当 x<0 时，g′(x)＝x[f′(x)＋]<0，g(x)是减函数，g(x)>0．在同一坐标系内画

出函数 y＝g(x)与y＝－的大致图象，结合图象可知，它们共有 1个公共点，因此函数 F(x)＝xf(x)＋的零点

个数是 1．

(10)函数 f(x)满足 x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，当 x>0 时，f(x)的极值状态是___________．

答案　没有极大值也没有极小值　解析　因为 x2f′(x)＋2xf(x)＝，关键因为等式右边函数的原函数不容

易找出，因此把等式左边函数的原函数找出来，设 h(x)＝x2f(x)，则 h′(x)＝，且 h(2)＝，因为 x2f′(x)＋2xf(x)

＝，则 f′(x)＝，判断 f(x)的极值状态就是判断 f′(x)的正负，设 g(x)＝ex－2h(x)，则 g′(x)＝ex－2h′(x)＝ex－2·

＝ex·，这里涉及二阶导，g(x)在x＝2处取得最小值 0，因此 g(x) ≥0，则 f′(x)≥0，故 f(x)没有极大值也没有

极小值(有难度，但不失为好题目)．

【对点训练】

1．已知函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，且对任意 x∈R，f′(x)＞2，则 f(x)＞2x＋4的解集为(　　)

A．(－1，1)　　　　B．(－1，＋∞)　　　　C．(－∞，－1)　　　　D．(－∞，＋∞)

1．答案　B　解析　由f(x)＞2x＋4，得 f(x)－2x－4＞0．设 F(x)＝f(x)－2x－4，则 F′(x)＝f′(x)－2．因为 f′

(x)

＞2，所以 F′(x)＞0在R上恒成立，所以 F(x)在R上单调递增．又 F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2

－4＝0，故不等式 f(x)－2x－4＞0等价于 F(x)＞F(－1)，所以 x＞－1，故选 B．

2．已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)＝1，f(x)的导数 f′(x)<，则不等式 f(x2)<＋的解集为．

2．答案　{x|x<－1或x>1}　解析　设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，

即函数 F(x)在R上单调递减．∵f(x2)<＋，∴f(x2)－<f(1)－，∴F(x2)<F(1)，而函数 F(x)在R上单调递减，

∴x2>1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}．

3．已知定义域为 R的函数 f(x)的导数为 f′(x)，且满足 f′(x)<2x，f(2)＝3，则不等式 f(x)>x2－1的解集是(

)

A．(－∞，－1)　　　　　B．(－1，＋∞)　　　　　C．(2，＋∞)　　　　　D．(－∞，2)

3．答案　D　解析　令g(x)＝f(x)－x2，则 g′(x)＝f′(x)－2x<0，即函数 g(x)在R上单调递减．又不等式

f(x)>x2

－1可化为 f(x)－x2>－1，而 g(2)＝f(2)－22＝3－4＝－1，所以不等式可化为 g(x)>g(2)，故不等式的解

集为(－∞，2)．故选 D．

4．定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 x2f′(x)＋1＞0，f(1)＝4，则不等式 f(x)＞＋3的解集为________．

4．解析　(1，＋∞)　答案　由 x2f′(x)＋1＞0得f′(x)＋＞0，构造函数 g(x)＝f(x)－－3，则 g′(x)＝f′(x)＋

＞0，即 g(x)在(0，＋∞)上是增函数．又 f(1)＝4，则 g(1)＝f(1)－1－3＝0，从而 g(x)＞0的解集为(1，

＋∞)，即 f(x)＞＋3的解集为(1，＋∞)．

5．设 f(x)为R上的奇函数，当 x≥0 时，f′(x)－cosx<0，则不等式 f(x)<sinx的解集为．

5．答案　(0，＋∞)　解析　令 φ(x)＝f(x)－sinx，∴当x≥0 时，φ′(x)＝f′(x)－cosx<0，∴φ(x)在[0，＋∞)上

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