《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题13 导数中对数单身狗指数找基友的应用(原卷版)

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专题 13　导数中对数单身狗指数找基友的应用

导数在高考中占据了及其重要的地位，导数是研究函数的一个重要的工具，在判断函数的单调性、

求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数．而这类问题都有一条经验

性规则：对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手．

考点一　对数单身狗

【方法总结】

在证明或处理含对数函数的不等式时，如 f(x)为可导函数，则有(f(x)lnx)′＝f′(x)lnx＋，若 f(x)为非常数

函数，求导式子中含有 lnx，这类问题需要多次求导，烦琐复杂．通常要将对数型的函数“独立分离”出

来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．

这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”．

1．设 f(x)>0，f(x)lnx＋g(x)>0lnx＋>0，则(lnx＋)′＝＋()′，不含超越函数，求解过程简单．或者

f(x)lnx＋g(x)>0f(x)(lnx＋)>0，即将前面部分提出，就留下 lnx这个单身狗，然后研究剩余部分．

2．设 f(x)≠0，f(x)lnx＋g(x)＝0lnx＋＝0，则(lnx＋)′＝＋()′，不含超越函数，求解过程简单．或者

f(x)lnx＋g(x)＝0f(x)(lnx＋)＝0，即将前面部分提出，就留下 lnx这个单身狗，然后研究剩余部分．

【例题选讲】

[例1] (2016·全国Ⅱ)已知函数 f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．

(1)当a＝4时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)若当 x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求 a的取值范围．

解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当 a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，

f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2．故曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 2x＋y－2＝0．

(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于 ln x－＞0．

设g(x)＝ln x－，则 g′(x)＝－＝，g(1)＝0．

①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，

故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此 g(x)＞0；

②当a＞2时，令 g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋．

由x2＞1和x1x2＝1得0<x1＜1，故当 x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，

因此 g(x)＜g(1)＝0．

综上，a的取值范围是(－∞，2]．

[例2]已知函数 f(x)＝＋，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 x＋2y－3＝0．

(1)求a，b的值；

(2)证明：当 x＞0，且 x≠1 时，f(x)＞．

解析　(1)f′(x)＝－(x＞0)．由于直线 x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，

故即解得

(2)由(1)知f(x)＝＋(x＞0)，所以 f(x)－＝．

考虑函数 h(x)＝2ln x－(x＞0)，则 h′(x)＝－＝－．

所以当 x≠1 时，h′(x)＜0．而 h(1)＝0，故当 x∈(0，1)时，h(x)＞0，可得 h(x)＞0；

当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，可得 h(x)＞0．从而当 x＞0，且 x≠1 时，f(x)－＞0，即 f(x)＞．

【对点精练】

1．若不等式 xln x≥a(x－1)

对所 x≥1 有都成立，求实数 a的取值范围．

2．(2017·全国Ⅱ)已知函数 f(x)＝ax2－ax－xln x，且 f(x)≥0．

(1)求a；

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 e－2<f(x0)<2－2．

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