《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题15 导数中同构与放缩的应用(原卷版)

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专题 15　导数中同构与放缩的应用

同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通

过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混

合式子结构的等式或不等式问题．

当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求

也是比较高的，

考点一　部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）

【方法总结】

在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：

(1)当a＞0且a≠1 时，有，(2)当a＞0且a≠1 时，有

再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中 x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)

(3) ，

(4) ，

(6) ，

再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论

(7) ，．

，．

(8) ，

，

(9) ，

，

【例题选讲】

[例1]　(1)已知，则函数的最大值为________．

答案　－2　解析　．(当且仅当 x

＋lnx＋1＝0取等号)．

(2)函数的最小值是________．

答案　1　解析　(当且仅当 x

＋lnx＝0取等号)．

(3)函数的最小值是________．

答案　1　解析　(当且仅当 x＋2lnx＝0取

等号)．

[例2]　(1)不等式恒成立，则实数 a的最大值是________．

答案　1　解析　

，当且仅当 x＋lnx＝0等号成立．

(2)不等式恒成立，则正数 a的取值范围是________．

答案　　解析　，当x

＋lnx＋1≤0 时，原不等式恒成立，当 x＋lnx＋1＞0时，，由于，

当且仅当 x＋lnx＝1等号成立，所以，故．

(3)不等式恒成立，则正数 a的取值范围是________．

答案　　解析　

．

(4)已知函数，其中 b＞0，若恒成立，则实数 a与b的大小

关系是________．

答案　　解析　，由于

，当且仅当 x＋blnx＝0等号成立，所以．

(5)已知函数，若恒成立，则实数 a的取值范围是________．

答案　　解析　，由于 lnx＋1≤x，ex≥ex，两者都是当且仅当 x＝1

等号成立，则，所以．

(6)已知不等式，对任意的正数 x恒成立，则实数 k的取值范围是________．

答案　　解析　，由于 ex≥ex，lnex≤x，两者都是当且仅当 x

＝1等号成立，所以，则，所以．

(7)已知不等式，对任意的正数 x恒成立，则实数 a的取值范围是________．

答案　　解析　，当

且仅当－ax＋lnx＝0，即时等号成立，由有解，易得．

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