《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题26　极值点偏移之其他型不等式的证明（原卷版)

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专题 26　极值点偏移之其他型不等式的证明

【例题选讲】

[例1]　已知函数 g(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x(a∈R)．

(1)求g(x)的单调区间；

(2)若函数 f(x)＝

(x)＋(a＋1)x2－2x，x1，x2(0＜x1＜x2)是函数 f(x)的两个零点，证明：f′<0．

思维引导　(2)利用分析法先等价转化所证不等式：要证明 f′<0，只需证明－<0 ，即证明

，即证明，再令，构造函数，

利用导数研究函数单调性，确定其最值：在上递增，所以，即可证得结论．

解析　(1)函数 g(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x的定义域为(0，＋∞)，

g′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－，

①当a≤0 时，g ′(x)>0，则 g(x)在(0，＋∞)上单调递增；

②当a>0 时，若 x∈，则 g ′(x)>0，若 x∈，则 g ′(x)<0，

则g(x)在上单调递增，在上单调递减．

(2)因为 x1，x2是f (x)＝lnx＋ax2－ax 的两个零点，

所以 lnx1＋ax－ax1＝0，ln x2＋ax－ax2＝0，所以 a＝＋(x2＋x1)，又 f ′(x)＝＋2x－a，

所以 f′＝＋(x1＋x2)－a＝－，

所以要证 f′<0，只须证明－<0，

即证明>lnx1－lnx2，即证明

令，则，则，．

∴在上递减，，∴在上递增，．

所以成立，即．

[例2]　已知函数 f(x)＝x2＋ax＋blnx，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝2x．

(1)求实数 a，b的值；

(2)设F(x)＝f(x)－x2＋mx(m∈R)，x1，x2 (0＜x1＜x2)分别是函数 F(x)的两个零点，求证：F()＜0(F(x)

为函数 F(x)的导函数)．

解析　(1) a＝1，b＝－1；

(2)

 

2lnf x x x x  

，

   

1 lnF x m x x  

，

 

1F x m x

  

，因为

1 2

, x x

分别是函数

 

F x

的两个零

点，所以

 

1 1

2 2

1 ln

m x x

 



 





，两式相减，得

1 2

ln ln

1x x

mx x



  

，

 

1 2

1 2 1 2

ln ln1 1

1x x

F x x m x x

x x x x



    



，

要证明

 

1 2

0F x x



，只需证

1 2

1 2 1 2

ln ln 1x x

x x x x





．

思维引导 1　因为

1 2

0x x 

，只需证

1 2 1 1

1 2

2 2

1 2 1

ln ln ln 0

x x x x

x x x



     

．令

 

0,1

 

，

即证

2ln 0t t t

  

，令

   

2ln 0 1h t t t t

    

，则

   

2 2

2 1

1 0

h t t t t



     

，所以函数

 

h t

在

 

0, 1

上单调递减，

   

1 0h t h 

，即证

2ln 0t t t

  

，由上述分析可知

 

1 2

0F x x



．

总结提升　这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把

1 2

, x x

转化为

的函数，常把

1 2

, x x

的关系

变形为齐次式，设

1 2

1 1

1 2

2 2

, ln , , x x

x x

t t t x x t e

x x



    

等，构造函数来解决，可称之对称化构造函数法．

思维引导 2　因为

1 2

0x x 

，只需证

1 2

ln ln 0

x x

x x x x



  

，设，

则，所以函数

 

Q x

在

 

0, x

上单调递减，

   

0Q x Q x 

，即证

ln ln x x

x x x x



 

．由上述分析可知

 

1 2

0F x x



．

总结提升　极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于

（或

）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此

乃主元法．

思维引导 3　要证明

 

1 2

0F x x



，只需证

1 2

1 2 1 2

ln ln 1x x

x x x x





，即证

1 2

ln ln

x x x x

x x





，由对数平均

数易得．

总结提升　极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数

式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法．

[例3]　已知函数．

(1)若，使得恒成立，求的取值范围．

(2)设，为函数图象上不同的两点，的中点为，求证：<f(x0)．

解析　(1) 恒成立，即恒成立，

令，，

由于，则在单调递减，在单调递增，

故，解得．

(2)因为为的中点，则，

故，

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