《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题九 三角形中的最值(范围)问题(解析版)

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专题九　三角形中的最值(范围)问题
【方法总结】
三角形中最值(范围)问题的解题思路
任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围
最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，
求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数
问题的基本要求外，还有自己独特的解法．
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，
转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身
范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
考点一　三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)
【例题选讲】
[例1](2020·浙江)在锐角△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 2bsinA－a＝0．
(1)求角 B的大小；
(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．
解析　(1)由正弦定理，得 2sinBsinA＝sinA，又在△ABC 中，sin A>0，
故sin B＝，由题意得 B＝．
(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC 是锐角三角形，得 A∈ ．
由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得
cosA＋cosB＋cosC＝sin A＋cos A＋＝sin＋∈．
故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是．
[例2](2016·北京)在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋ac．
(1)求B的大小；
(2)求cosA＋cosC的最大值．
解析　(1)由a2＋c2＝b2＋ac，得 a2＋c2－b2＝ac．
由余弦定理，得 cos B＝＝＝．又 0＜B＜π，所以 B＝．
(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以 C＝－A,0＜A＜．
所以 cos A＋cos C＝cos A＋cos＝cos A＋coscos A＋sin sin A
＝cos A－cos A＋sin A＝sin A＋cos A＝sin．
因为 0＜A＜，所以＜A＋＜π，
故当 A＋＝，即 A＝时，cos A＋cos C取得最大值 1．
[例3](2014·陕西)△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．
(1)若a，b，c成等差数列，证明 sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求 cosB的最小值．
解析　(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b．由正弦定理得 sinA＋sinC＝2sinB．
∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．由余弦定理得，cosB＝＝≥＝，
当且仅当 a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为．
[例4]在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0．
(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC 的面积；
(2)求sin2A＋sin 的取值范围．
解析　(1)因为(2c－a)cosB－bcosA＝0，
由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，则2sinCcosB－sin(A＋B)＝0，
求得 cosB＝，B＝．由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accosB，
即49＝(a＋c)2－2ac－2accosB，
求得 ac＝40，所以△ABC 的面积 S＝acsinB＝10．
(2)sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝－cos2A＋cosA＋1，A∈，
令u＝cosA∈，y＝－u2＋u＋1∈．
【对点训练】
1．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ．
(1)求A的大小；
(2)求sinB＋sinC的最大值．
1．解析　(1)由已知，根据正弦定理得，2a2＝(2a＋c) b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，故 cosA＝－，所以 A＝．
(2)由(1)得，sinB＋sinC＝sinB＋sin(－B)＝cosB＋sinB＝sin(＋B)，
故当 B＝时，sinB＋sinC取最大值 1．
2．已知锐角△ABC 中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中 a、b、c分别为内角 A、B、C的对边．
(1)求角 A的大小；
(2)求cosC－sinB的取值范围．
2．解析　(1)由正弦定理得 b2－a2＝(b－c)·c
．
即b2＋c2－a2＝bc
．
∴cos A＝＝＝．又∵A为三角形内角，∴A＝．
(2)∵B＋C＝π，∴C＝π－B
．
∵△ABC 为锐角三角形，∴∴<B<．
又∵cos C－sin B＝cos－sin B＝－cos B＋sin B＝sin，
∵<B<，∴－<B－<．∴－<sin<．即 cos C－sin B的取值范围为．
3．(2016 山东)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ．
(1)证明：a＋b＝2c；
(2) 求cosC的最小值．
3．解析　由题意知，2(＋)＝＋，
化简得 2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB．
因为 A＋B＋C＝π，所以 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，从而 sinA＋sinB＝2sinC，
由正弦定理得，a＋b＝2c．
(2)由(1)知，所以 ，
当且仅当 时，等号成立．故 的最小值为 ．
4．(2015 湖南)设△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a＝btanA，且 B为钝角．
(1)证明：B－A＝；
(2)求sinA＋sinC的取值范围．
4．解析　(1)由a＝btan A及正弦定理，得＝＝，所以 sinB＝cosA，即 sinB＝sin．
因为 B为钝角，所以 A为锐角，所以＋A∈，则 B＝＋A，即 B－A＝．
(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A>0，所以 A∈．
于是 sinA＋sinC＝sin A＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sin A＋1＝－22＋．
因为 0<A<，所以 0<sin A<，因此<－22＋≤．
由此可知 sin A＋sin C的取值范围是．
考点二　三角形中与边或周长有关的最值(范围)
【例题选讲】
[例1]在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 b2＋c2－a2＝bc．
(1)求角 A的大小；
(2)若a＝，求 BC 边上的中线 AM 的最大值．
解析　(1)由b2＋c2－a2＝bc 及余弦定理，得 cos A＝＝＝，又 0<A<π，∴A＝．
(2)∵AM 是BC 边上的中线，∴BM＝CM＝，∴在△ABM 中，AM2＋－2AM··cos∠AMB＝c2，①
在△ACM 中，AM2＋－2AM··cos∠AMC＝b2，②
又∠AMB＝π－∠AMC，∴cos∠AMB＝－cos∠AMC，即 cos∠AMB＋cos∠AMC＝0，
则①＋②整理得 AM2＝－．又 a＝，A＝，∴b2＋c2－3＝bc≤，
∴b2＋c2≤6，∴AM2＝－≤，即 AM≤，∴BC 边上的中线 AM 的最大值为．
[例2] (2020·全国Ⅱ)△ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC 周长的最大值．
解析　(1)由正弦定理和已知条件得 BC2－AC2－AB2＝AC·AB．①
由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②
由①②得 cos A＝－．因为 0<A<π，所以 A＝．
(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而 AC＝2sin B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cosB－sinB．故 BC＋AC＋AB＝3＋sinB＋3cosB＝3＋2sin．
又0<B<，所以当 B＝时，△ABC 周长取得最大值 3＋2．
[例3]在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos2C－cos2A＝2sin·sin．
(1)求角 A的值；
(2)若a＝且 b≥a，求 2b－c的取值范围．
解析　(1)由已知得 2sin2A－2sin2C＝2，化简得 sin A＝±，
因为 A为△ABC 的内角，所以 sin A＝，故 A＝或．
(2)因为 b≥a，所以 A＝．由正弦定理得＝＝＝2，得 b＝2sin B，c＝2sin C，
故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin．
因为 b≥a，所以≤B<，则≤B－<，所以 2b－c＝2sin∈[，2)．
[例4]在锐角△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，满足 cos2A－cos2B＋2cos·cos
＝0．
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