《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题三 三角形形状的判定问题(解析版)

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专题三　三角形形状的判定问题
【方法总结】
利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边
的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数
恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个结论．
正(余)弦定理是转化的桥梁，无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则
会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．特别地，在 △ABC
中，c是最大的边，若 c2<a2＋b2，则△ABC 是锐角三角形；若 c2＝a2＋b2，则△ABC 是直角三角形；若
c2>a2＋b2，则△ABC 是钝角三角形．
【例题选讲】
[例1](1)在△ABC 中，cos2＝(a，b，c分别为角 A，B，C的对边)，则△ABC 的形状为(　　)
A．等边三角形　　B．直角三角形　　C．等腰三角形或直角三角形　　D．等腰直角三角形
答案　B　解析　∵cos2＝，∴＝，即 1＋cos B＝．由余弦定理得 1＋＝．整理得 c2＝a2＋b2，即△ABC
为直角三角形．
(2)在△ABC 中，若 tanAtanB>1，则△ABC 是(　　)
A．锐角三角形　　　　B．直角三角形　　　　C．钝角三角形　　　　D．无法确定
答案　A　解析　因 为 A和B都为三角形中的内角，由 tanAtanB>1 ， 得 1－tanAtanB<0 ， 且
tanA>0，tan B>0，即 A，B为锐角，所以 tan(A＋B)＝<0，则 A＋B∈，即 C为锐角，所以△ABC 是锐角三
角形．
(3)若△ABC 的三个内角满足 sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形　　　　　　　　B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形　　　　　　　　D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
答案　C　解析　根据正弦定理＝＝，又 sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，
设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t≠0)，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cos C＝＝＝－<0，∴角 C为钝角．故选 C．
(4)△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 acosB＋acosC＝b＋c，则△ABC 的形状为(
)
A．等边三角形　　　B．锐角三角形　　　C．钝角三角形　　　D．直角三角形
答案　D　解析　法一：由余弦定理及已知得 a×＋a×＝b＋c，所以 a2b＋c2b－b3＋a2c＋b2c－c3＝2b2c
＋2bc2，得 b2＋c2＝a2，故 A＝90°，所以△ABC 为直角三角形．
法二：由正弦定理得 acosB＋acosC＝b＋c，即 sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC，即 sinAcosB＋
sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得 cosA(sinB＋sinC)＝0，在△ABC 中，sinB＋sinC≠0，则 cosA＝0，
所以△ABC 为直角三角形．
(5)在△ABC 中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC 的形状为(　　)
A．等边三角形　　B．等腰直角三角形　　C．等腰三角形或直角三角形　　D．直角三角形
答案　C　解析　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－
sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即 a2cosAsinB＝b2sinAcosB．
方 法 一 　由 正 弦 定 理 知 a＝2RsinA，b＝2RsinB， ∴ sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB， 又
sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．在△ABC 中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A＝2B或2A
＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
方法二　由正弦定理、余弦定理得：a2b＝b2a，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－
c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即 a＝b或a2＋b2＝c2．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
(6)在△ABC 中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，若 tanA∶tanB＝a2∶b2，则△ABC 的形状为(
)
A．等边三角形　　B．等腰直角三角形　　C．等腰三角形或直角三角形　　D．直角三角形
答案　C　解析　因为∶＝a2∶b2＝sin2A∶sin2B，所以＝，整理得 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B或2A
＋2B＝π，即 A＝B或A＋B＝，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
(7)在△ABC 中，若 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，则△ABC 的形状为(　　)
A．等边三角形　　B．等腰直角三角形　　C．等腰三角形或直角三角形　　D．直角三角形
答案　D　解析　法一：由＝＝＝2R，则条件化为：4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝
8R2sinB·sinC·cosB·cosC． 又 sinB·sinC≠0， ∴ sinB·sinC＝cosBcosC， 即 cos(B＋C)＝0． 又 0°<B＋
C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC 为直角三角形．
法二：将已知等式变形为：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，即 b2＋c2－b2·2－c2·2＝2bc··，
即b2＋c2＝＝＝a2，∴A＝90°，∴△ABC 为直角三角形．
(8)在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cosAsinB＝sinC，则△ABC 的形状为(　　)
A．正三角形　　　　B．直角三角形　　　　C．等腰三角形　　　　D．等腰直角三角形
答案　A　解析　法一：由正弦定理得＝，由 2cos Asin B＝sin C，有 cos A＝＝．又由余弦定理得 cos
A＝，所以＝，即 c2＝b2＋c2－a2，所以 a2＝b2，所以 a＝b
．
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2
－c2＝3ab，所以 4b2－c2＝3b2，即 b2＝c2．所以 b＝c，所以 a＝b＝c
．
所以△ABC 为等边三角形．
法二：因为 A＋B＋C＝180°，所以 sin C＝sin(A＋B)，又因为 2cos Asin B＝sin C，所以 2cos Asin B＝
sin Acos B＋cos Asin B，所以 sin(A－B)＝0．又因为 A与B均为△ABC 的内角，所以 A＝B
．
又由(a＋b＋c)
(a＋b－c)＝3ab 得(a＋b)2－c2＝3ab，所以 a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即 a2＋b2－c2＝ab
．
由余弦定理，得 cos
C＝＝＝，又 0°＜C＜180°，所以 C＝60°．所以△ABC 为等边三角形．
(9)在△ABC 中，已知 2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC 为(　　)
A．等边三角形　　B．等腰直角三角形　　C．锐角非等边三角形　　D．钝角三角形
答案　B　解析　由2acosB＝c⇒2a·＝c⇒a2＝b2，所以 a＝b．因为 sinAsinB(2－cos C)＝sin2＋，所以
2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2＝0，所以 2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－
1)＝0，因为 cosC≠2，所以 sinAsinB＝，因为 a＝b，所以 sin2A＝，所以 A＝B＝，所以△ABC 是等腰直角
三角形，故选 B．
(10)已知 a，b，c分别是△ABC 三个内角 A，B，C的对边．下列四个命题：
①若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC 是锐角三角形；
②若acos A＝bcos B，则△ABC 是等腰三角形；
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