《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题四三角形中的最值(范围)问题(解析版)

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专题四　三角形中的最值(范围)问题

三角形中最值(范围)问题的解题思路

任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围

最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，

求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数

问题的基本要求外，还有自己独特的解法．

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，

转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身

范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．

考点一　三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)

【例题选讲】

[例1](1)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角 A的取值范

围是(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

答案　C　解析　因为 a2＜b2＋c2，所以 cosA＝＞0，所以 A为锐角．又因为 a＞b＞c，所以 A为最大

角，所以角 A的取值范围是．

(2)在△ABC 中，若 AB＝1，BC＝2，则角 C的取值范围是(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

答案　A　解析　因为 c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第

三边可知 1<b<3，根据余弦定理 cosC＝(a2＋b2－c2)＝(4＋b2－1)＝(3＋b2)＝＋＝2＋≥．所以 0<C≤．故选

A．

(3)在△ABC 中，内角 A，B，C对应的边分别为 a，b，c，A≠，sinC＋sin(B－A)＝sin2A，则角 A的取

值范围为(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

答案　B　解析　法一：在△ABC 中，C＝π－(A＋B)，所以 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，即

2sinBcosA＝2sinAcosA，因为 A≠，所以 cosA≠0，所以 sinB＝sinA，由正弦定理得，b＝a，所以 A为锐角，

又sinB＝sinA∈(0,1]，所以 sinA∈，所以 A∈．

法二：在△ABC 中，C＝π－(A＋B)，所以 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，即 2sinBcosA＝2sinAcosA，

因为 A≠，所以 cosA≠0，所以 sinB＝sinA，由正弦定理，得 b＝a，由余弦定理得 cosA＝＝≥＝，当且仅当

c＝b时等号成立，所以 A∈．

(4)(2014·江苏)若△ABC 的内角满足 sinA＋sinB＝2sinC，则 cosC的最小值是________．

答案　　解析　由sinA＋sinB＝2sinC，结合正弦定理得 a＋b＝2c．由余弦定理得 cosC＝＝＝≥＝，

故≤cosC<1，故 cosC的最小值为．

(5)设△ABC 的三边 a，b，c所对的角分别为 A，B，C，已知 a2＋2b2＝c2，则＝_____；tanB的最大值

为________．

答案　－3　　解析　由正弦定理可得＝·＝·，再结合余弦定理可得＝·＝··＝．由 a2＋2b2＝c2，得＝

＝－3．由已知条件及大边对大角可知 0＜A＜＜C＜π，从而由 A＋B＋C＝π可知 tanB＝－tan(A＋C)＝－

＝－＝，因为＜C＜π，所以＋(－tanC)≥2＝2(当且仅当 tanC＝－时取等号)，从而 tanB≤＝，即 tanB的最大

值为．

(6)在锐角△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若 a＝2bsinC，则 tanA＋tanB＋tanC的最小

值是(　　)

A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．6

解析：由a＝2bsinC得sinA＝2sinBsinC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，即 tanB＋

tanC＝2tanBtanC．又三角形中的三角恒等式 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC， ∴ tanBtanC

＝，∴tanAtanBtanC＝tanA·，令 tanA－2＝t，得 tanAtanBtanC＝＝t＋＋4≥8，当且仅当 t＝，即 t＝2，tan

A＝4 时，取等号．

【对点训练】

1．在不等边三角形 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，其中 a为最大边，如果 sin2(B＋

C)<sin2B

＋sin2C，则角 A的取值范围为(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

1．答案　D　解析　由题意得 sin2A<sin2B＋sin2C，再由正弦定理得 a2<b2＋c2，即b2＋c2－a2>0．则cosA

＝>0，∵0<A<π，∴0<A<．又a为最大边，∴A>．因此得角 A的取值范围是．

2．已知△ABC 的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角 A的取值范

围是(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

2．答案　C　解析　在△ABC 中，由正弦定理化简已知的等式得 sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即

sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，所以 sinB＝2sinA，由正弦定理得 b＝2a，所以 cosA＝＝＝≥＝(当且仅当 c2

＝3a2，即 c＝a时取等号)，因为 A为△ABC 的内角，且 y＝cosx在(0，π)上是减函数，所以 0＜A≤，故

角A的取值范围是．

3．已知 a，b，c分别是△ABC 内角 A，B，C的对边，满足 cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsin

B，则 C的最大值为________．

3．答案　　解析　由正弦定理，得 bccosA＋accosB＝2abcosC，由余弦定理，得 bc·＋

ac·＝2ab·，∴a2＋b2＝2c2，∴cosC＝＝＝≥＝，当且仅当 a＝b时，取等号．∵0<C<π，∴0<C≤，∴C的

最大值为．

4．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若 b2＋c2＝2a2，则 cosA的最小值为________．

4．答案　　解析　因为 b2＋c2＝2a2，则由余弦定理可知 a2＝2bccos A，所以 cos A＝＝×≥×

＝(当且仅当 b＝c时等号成立)，即 cos A的最小值为．

5．已知△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 cos2A＋cos2B＝2cos2C，则 cosC的最小值为(

)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

5．答案　C　解析　因为 cos2A＋cos2B＝2cos2C，所以 1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得 a2＋b2

＝2c2，cosC＝≥＝，当且仅当 a＝b时等号成立，故选 C．

6．在钝角△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，B为钝角，若 acosA＝bsinA，则 sinA＋sinC

的最大值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．

6．答案　B　解析　∵acosA＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBsinA，∵sinA≠0，∴cosA＝sin

B，又 B为钝角，∴B＝A＋，sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋cos2A＝sinA＋1－2sin2A＝－22

＋，∴sinA＋sinC的最大值为．

7．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 acosB－bcosA＝c，当 tan(A－B)取最大值时，

角B的值为________．

7．答案　　解析　由acosB－bcosA＝c及正弦定理，得 sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)＝

(sinAcosB＋cosAsinB)，整理得 sinAcosB＝3cosAsinB，即 tanA＝3tanB，易得 tanA>0，tanB>0．所以

tan(A－B)＝＝＝≤＝，当且仅当＝3tanB，即 tanB＝时，tan(A－B)取得最大值，所以 B＝．

8．在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，asinA＋bsinB＝csinC－asinB，则 sin2Atan2B

的最大值是__________．

8．答案　3－2　解析　依题意得 a2＋b2－c2＝－ab，则 2abcosC＝－ab，所以 cosC＝－，

所以 C＝，A＝－B，所以 sin2Atan2B＝cos2Btan2B＝．令 1＋tan2B＝t，其中 t∈(1,2)，则有＝＝－＋3≤3

－2，当且仅当 t＝时取等号．故 sin 2Atan2B的最大值是 3－2．

9．在△ABC 中，若 sinC＝2cosAcosB，则 cos2A＋cos2B的最大值为________．

9．答案　　解析　解法 1　因为 sinC＝2cosAcosB，所以，sin(A＋B)＝2cosAcosB，化简得 tanA＋tanB

＝2，cos2A＋cos2B＝＋＝＋＝＝＝．因为分母(tanAtanB)2－2tanAtanB＋5>0，所以令 6－2tanAtanB＝

t(t>0)，则cos2A＋cos2B＝＝≤＝(当且仅当 t＝4时取等号)．

解法 2　由解法 1得tanA＋tanB＝2，令tanA＝1＋t，tanB＝1－t，则cos2A＋cos2B＝＋＝＋＝，令d＝t2

＋2≥2，则cos2A＋cos2B＝＝≤＝，当且仅当 d＝2时等号成立．

解法 3　因为 sinC＝2cosAcosB，所以 sinC＝cos(A＋B)＋cos(A－B)，即 cos(A－B)＝sinC＋cosC，cos2A

＋cos2B＝＋＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)＝1－cosC(sinC＋cosC)＝－(sin2C＋cos2C)＝－sin(2C＋)≤＋＝，

当且仅当 2C＋＝，即C＝时取等号．

10．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 3acos C＋b＝0，则 tan B的最大值是________．

10．答案　　解析　在△ABC 中，因为 3acos C＋b＝0，所以 C为钝角，由正弦定理得 3sin Acos C＋sin(A

＋C)＝0，3sin Acos C＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，所以 4sin Acos C＝－cos A·sin C，即 tan C＝－

4tan A．因为 tan A>0，所以 tan B＝－tan(A＋C)＝－＝＝＝≤＝，当且仅当 tan A＝时取等号，故 tan

B的最大值是．

11．(2016 江苏)在锐角三角形中，若，则的最小值是________．

11．答案　8　解析　因为 sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC，所以 tanB＋tanC＝2tanBtanC，因此 tanAtanBtanC

＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC≥2，所以 tanAtanBtanC≥8．

12．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足 b2－a2＝ac，则

－的取值范围是________．

12．答案　　解析　思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入，

又因已知锐角和边的关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，

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