《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题六 三角恒等变换题型篇(原卷版)

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专题六 三角恒等变换题型篇
三角恒等变换的基本题型
1．求值：三角函数的求值有三种类型
(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去
非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变
角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的
范围的讨论；
(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数
的单调性求得角．
2．化简：化简目标：项数尽量少、次数尽量低、尽量不含分母和根号 ．对能求出具体数值的，要求
出值．
3．证明：三角函数的求值有两种类型
(1)无条件三角恒等式的证明：证明方法有：化繁为简法、左右归一法、变更论题法；
(2)有条件三角恒等式的证明：
可分为四类：①已知角度关系，证明函数关系；②已知函数关系证明角度关系；③已知函数关系证
明函数关系；④三角形内的边角恒等式的证明．
证明方法除了注意到无条件三角恒等式的证明方法外，还用到直推法与代入法两种方法．
4．三种题型的相互关系：
考点一　给角求值
【方法总结】
解给角求值问题的解题策略
解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关
系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的
三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理
地进行变形．
【例题选讲】
[例1] (1) (2015·全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
答案　D　解析　sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°
＝，故选 D．
(2) 的值是________．
答案　2　解析　原式＝＝＝＝2．
(3)计算：＝________．
答案　　解析　＝＝＝＝.
(4) sin 50°(1＋tan 10°)＝________．
答案　1　解析　sin50°(1＋tan10°)＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·＝sin 50°·＝＝＝＝1．
(5) 计算：－sin 10°·＝________．
答案　　解析　原式＝－sin10°·＝－＝＝＝＝.
【对点训练】
1． 的值等于(　　)
A． 　　　　　　　B．－ 　　　　　　　C． 　　　　　　　D．3
2．计算的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
3．计算：＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
4．求值：＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
5．的值是(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
6．等于(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1
7．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)
A．　　　　　　B．1＋　　　　　　C．2　　　　　　D．2(tan 18°＋tan 27°)
8．4sin 80°－＝(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．2－3
9．4cos 50°－tan 40°等于(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．2－1
10．计算：－＝ ．
11．[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝ ．
12．求值：(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°．
考点二　给值求值
【方法总结】
解给值求值问题的一般步骤
(1)先化简条件式子或待求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
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