《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题四 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(解析版)

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专题四 　函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
考点一　函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【基本知识】
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R
振
幅周期 频率 相位 初相
AT＝f＝＝ ωx＋
φφ
(2)用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个如下表所示的特征点：
x
ωx＋φ0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0
用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx ＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设 z＝ωx ＋φ， 由 z取
0，，π，，2π 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距
离均为．
【例题选讲】
[例1] 已知函数 y＝2sin．
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明 y＝2sin 的图象可由 y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
解　(1)y＝2sin 的振幅 A＝2，周期 T＝＝π，初相 φ＝．
(2)令X＝2x＋，则 y＝2sin＝2sin X．列表如下：
x－
X0 π 2π
y＝sin X010－10
y＝2sin 020－20
描点画出图象，如图所示：
(3)方法一　把 y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到 y＝sin 的图象；再把 y＝sin 的图
象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 的图象；最后把 y＝sin 上所有点的纵坐标
伸长到原来的 2倍(横坐标不变)，即可得到 y＝2sin 的图象．
方法二　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 2x的图象；
再将 y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到 y＝sin＝sin 的图象；再将 y＝sin 的图象上所有点的纵坐
标伸长为原来的 2倍(横坐标不变)，即得到 y＝2sin 的图象．
【对点训练】
1．某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分
数据，如下表：
ωx＋φ0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ)0 5 －50
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到 y＝g(x)的图象，求 y＝g(x)的图象离原点 O最近
的对称中心；
(3)说明函数 f(x)的图象是由 y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的．
1．解　(1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ0 π 2π
x
Asin(ωx＋φ)0 5 0 －50
则函数解析式为 f(x)＝5sin．
(2)由(1)知f(x)＝5sin，因此 g(x)＝5sin＝5sin．
因为 y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，令 2x＋＝kπ，k∈Z，解得 x＝－，k∈Z，
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点 O最近的对称中心为．
(3)把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到 y＝sin 的图象，再把 y＝sin 的图象上的点
的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 的图象，最后把 y＝sin 上所有点的纵坐标伸长到
原来的 5倍(横坐标不变)，即可得到 y＝5sin2x－的图象．
2．设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为 π，且 f＝．
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象．
2．解　(1)因为 T＝＝π，所以 ω＝2，又因为 f＝cos＝cos＝－sin φ＝且－<φ<0，
所以 φ＝－．
(2)由(1)知f(x)＝cos．
列表：
2x－ － 0 π
x0 π
f(x) 1 0 －10
描点，连线，可得函数 f(x)在[0，π]上的图象如图所示．
考点二　函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换
【基本知识】
函数 y＝sin x的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
(1)两种变换的区别
①先相位变换(横向平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变
换)再相位变换(横向平移)，平移的量是(ω>0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种横向变换，每一个变换总是针对自变量 x而言的，即图象变换要看“自变量 x”发生多大变
化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．即函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左(右)平移 k个单位长度后，其图象对
应的函数解析式为 g(x)＝sin[ω(x±k)＋φ]，而不是 g(x)＝sin(ωx±k＋φ)．
【方法总结】
三角函数图象变换中的 3个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数 y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，
而函数 y＝Asin ωx 到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．
【例题选讲】
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