《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题五三角恒等变换(基础篇)(原卷版)

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专题五三角恒等变换(基础篇)

考点一　公式的直接应用

【基本知识】

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))

tan(α－β)＝(T(α－β))

tan(α＋β)＝(T(α＋β))

2．二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝．

【方法总结】

直接应用应用公式化简求值的策略

(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．

(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．

(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．

[例1] (1) 已知 cos α＝，α∈，则 cos＝________．

答案　　解析　∵cos α＝，α∈，∴sin α＝＝，∴cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝．

(2)设角 θ的终边过点(2，3)，则 tan＝(　　)

A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．－5

答案　A　解析　由于角 θ的终边过点(2,3)，因此 tan θ＝，故 tan＝＝＝．

(3)已知 sin α＝，α∈，tan β＝－，则 tan(α－β)的值为(　　)

A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

答案　A　解析　因为 sin α＝，α∈，所以 cos α＝－＝－，所以 tan α＝＝－．所以 tan(α－β)＝＝

－．

(4) (2018·全国Ⅲ)若sin α＝，则 cos2α＝(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－

答案　B　解析　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝．

(5)若sin＝，且≤α≤π，则 sin 2α的值为(　　)

A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　B　解析　因为 sin(π－α)＝sinα＝，≤α≤π，所以 cosα＝－＝－，所以 sin2α＝2sinαcosα＝2××

＝－．

【对点训练】

1．已知 cos α＝，α∈，则 cos＝．

2．已知 sin α＝，α∈，则 cos 等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－

3．已知 α为锐角，β为第三象限角，且 cos α＝，sin β＝－，则 cos(α－β)的值为(　　)

A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

4．已知 cos＝，则 cos α＋sin α的值为．

5．若 tan＝，则 tan α＝________．

6．若 2sin x＋cos＝1，则 cos 2x＝(　　)

A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

7．若 tan＝4cos(2π－θ)，|θ|<，则 tan 2θ＝________．

8．若＝，则 cos 的值为(　　)

A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．

9．已知 tan＝3，则 sin 2θ－2cos2θ＝．

10．已知 sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________．

11．已知 α为第二象限角，且 sin α＝，求的值．

12．已知 tan α＝2．

(1)求tan 的值；

(2)求的值．

13．(2018·江苏)已知 α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－．

(1)求cos2α的值；

(2)求tan(α－β)的值．

考点二　公式的逆用与变形用

【常用结论】

(1)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α．

(2)升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；1＋sin α＝2；1－sin α＝2．

(3)两角和差的正切公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

(4)

辅

助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)

．

特别的　sin α±cos α＝sin；sin α±cos α＝2sin；sin α±cos α＝2sin．

【方法总结】

两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧

(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．

(2)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．

(3)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元

二次方程根与系数的关系结合命题．

(4)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”

构造适合公式的形式．

【例题选讲】

[例2] (1) sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

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