《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题01 数列的概念及性质(解析版)

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专题 01　数列的概念及性质

1．数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的分类

分类标准名称含义

按项的个数有穷数列项数有限的数列

无穷数列项数无限的数列

按项的变化趋势

递增数列从第 2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即 an＋1>an

递减数列从第 2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即 an＋1<an

常数列各项都相等的数列，即 an＋1＝an

周期数列项呈现周期性变化

摆动数列从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项

3．数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．

(1)列举法：a1，a2，a3，…，an，…；

(2)图像法：数列可用一群孤立的点表示；

(3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式．

4．数列的通项公式

如果数列{an}的第 n项与它的序号 n之间的关系可以用一个公式 an＝f(n)来表示，那么这个公式叫作

这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．

5．数列的递推公式

如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任意一项 an与an－1(或其前面的项)之间的关系可以用一个公

式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式．它是数列的一种表示法．

注：并不是所有的数列都有通项公式，即使有通项公式也未必唯一．

6．数列的通项 an与前 n项和 Sn的关系

已知数列{an}的前 n项和 Sn，则 an＝这个关系式对任意数列均成立．

7．数列与函数的内在联系

从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N＋的函数，即当自变量从小到大依

次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．

考点一　由数列前几项求数列通项公式

【基本方法】

由数列前几项求数列通项公式的常用方法及具体策略

(1)常用方法：

观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法

同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数

列的通项公式．

(2)具体策略：

① 分式中分子、分母的特征；

② 相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于 n为一次递增或以 2n

，

3n等形式递增；

③ 拆项后的特征；

④ 各项的符号特征和绝对值的特征；

⑤ 化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；

⑥ 对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*来处理．

【基本题型】

[例1](1)数列，，，，…的一个通项公式 an＝________．

答案　　解析　因为 7－3＝11－7＝15－11＝4，即 a－a＝4，所以 a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以 an

＝．

(2)数列－，，－，，…的一个通项公式 an＝________．

答案　(－1)n　解析　这个数列前 4项的绝对值都等于序号与序号加 1的积的倒数，且奇数项为负，

偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n．

(3)已知数列 1，2，，，，…，则 2在这个数列中的项数是(　　)

A．16　　　　　　　　B．24　　　　　　　　C．26　　　　　　　　D．28

答案　C　解析　因为 a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以 an＝．令 an＝＝2＝，解得 n

＝26．

(4)数列，－，，－，…的第 10 项是(　　)

A．－

B．－

C．－

D．－

答案　C　解析　所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分

解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式 an＝(－1)n＋1·，故 a10＝－．

(5)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an＝________．

答案　5n－4　解析　由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳 an＝5n－4．

(6)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正

方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n个图形

包含 f(n)个小正方形，则 f(6)＝________．

答案　61　解析　f(1)＝1＝2×1×0＋1，f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝

2×3×2＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，故 f(n)＝2n(n－1)＋1．当 n＝6时，f(6)＝

2×6×5＋1＝61．

【对点精练】

1．数列 0，，，，…的一个通项公式为________．

1．答案　an＝(n∈N*)

2．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．

2．答案　an＝(－1)n·　解析　各项的分母分别为 21，22，23，24，…，易看出从第 2项起，每一项的

分子都比分母少 3，且第 1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为 an＝

(－1)n·．

3．在数列 1，1，2，3，5，8，13，x

，

34，55，…中，x应取(　　)

A．19　　　　　　　　B．20　　　　　　　　C．21　　　　　　　　D．22

3．答案　C　解析　a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21．故选 C．

4．已知数列，，2，…，则 2是该数列的(　　)

A．第 5项　　　　　　　B．第 6项　　　　　　　C．第 7项　　　　　　　D．第 8项

4．答案　C　解析　由数列，，2，…的前三项，，可知，数列的通项公式为 an＝

＝，由＝2，可得 n＝7．故选 C．

5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的

三角形数：

将三角形数 1，3，6，10，…记为数列{an}，则数列{an}的通项公式为________．

5．答案　an＝　解析　由图可知 an＋1－an＝n＋1，a1＝1，由累加法可得 an＝．

6．把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图

所示)．

则第 7个三角形数是(　　)

A．27　　　　　　　　B．28　　　　　　　　C．29　　　　　　　　D．30

6．答案　B　解析　观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序

号，即 an＝an－1＋n(n≥2)．所以第 7个三角形数是 a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28．故选 B．

考点二　数列的周期性

【基本知识】

周期数列：对于数列{an}，如果存在一个常数 T，使得对任意的正整数 i恒有ai＝ai＋T成立，则称数列

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