《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题03 用an与Sn的关系求通项公式(原卷版)

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专题 03　用 an与Sn的关系求通项公式

【基本知识】

Sn与an的关系

已知数列{an}的前 n项和为 Sn，则 an＝这个关系式对任意数列均成立．

注意：Sn与an关系的二重性，即用 Sn与an关系可消去 an，也可消去 Sn．(1)正用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)消

去an转化为只含 Sn，Sn－1的关系式．(2)逆用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去 Sn转化为只含 an，an－1的关系式，再求

解．

提醒：利用 an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意 n≥2 这一前提条件，易忽视验证 n＝1致误．

考点一　由 Sn＝f(n)求an型

【基本方法】

已知 Sn＝f(n)求an的方法

已知 Sn＝f(n)求an的常用方法是利用 an＝主要分三个步骤完成：

(1)当n＝1时，在 Sn＝f(n)中，令 n＝1，求得 a1＝f(1)；

(2)当n≥2时，再利用 an＝Sn－Sn－1＝f(n)－f(n－1) (n≥2)，求出 an＝f(n)－f(n－1)．即当 n≥2，n∈N*时

的通项公式；

(3)检查 a1是否符合 n≥2 时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成 an＝f(n)－f(n－

1)；否则应写成分段的形式，即 an＝

【基本题型】

[例1] (1)已知数列{an}的前 n项和 Sn＝n2＋2n，则 an＝________．

答案　2n＋1　解析　当n＝1时，a1＝S1＝3．当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]

＝2n＋1．由于 a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1．

(2)已知数列{an}的前 n项和 Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则 an＝________；

答案　　解析　当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1．因此 an＝

(3)已知数列{an}的前 n项和 Sn＝3n＋1，则 an＝________．

答案　　解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－

1．当 n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以 an＝

【对点精练】

1．已知数列{an}的前 n项和 Sn＝2n2－3n，则 an＝________．

2．若数列{an}的前 n项和 Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式 an＝________．

3．若 Sn＝3n＋2n＋1，则数列{an}的通项公式为________________．

4．已知 Sn为数列{an}的前 n项和，且 log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________________．

5．已知数列{an}的前 n项和 Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前 n项和 Tn＝2－bn．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)设cn＝a·bn，证明：当且仅当 n≥3时，cn＋1＜cn．

考点二　由 a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an型

【基本方法】

已知 Sn求an的方法

已知 a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an的常用方法是利用 an＝主要分三个步骤完成：

(1)当n＝1时，求得 a1＝f(1)；

(2)当n≥2时，在 a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)中用 n－1替换 n得到一个新的关系式 a1＋a2＋a3＋…＋an－

1＝f(n－1)，两式相减得到 an＝f(n)－f(n－1) (n≥2)，便可求出当 n≥2，n∈N*时的通项公式；

(3)检查 a1是否符合 n≥2 时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成 an＝f(n)－f(n－

1)；否则应写成分段的形式，即 an＝

【基本题型】

[例2] (1)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝n　　　　　B．an＝n2　　　　　C．an＝　　　　　D．an＝

答案　B　解析　当n＝1时，＝＝1，a1＝1．当 n≥2 时，∵＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝，两式相减得

＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①，又当 n＝1时，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*．故选 B．

(2)已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则 an＝________．

答案　　解析　当n＝1时，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①，故 a1＋2a2＋3a3＋…＋(n

－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②，由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝(n≥2)．显然当 n＝1时不满足上式，

∴an＝

[例3]　记m＝，若{dn}是等差数列，则称 m为数列{an}的“dn等差均值”；若{dn}是等比数列，则称

m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为 2，数列{bn}的“3n－1等比均值”

为3．记 cn＝＋klog3bn，数列{cn}的前 n项和为 Sn，若对任意的正整数 n都有 Sn≤S6，求实数 k的取值范围．

解析　由题意得 2＝，所以 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

所以 a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－2(n≥2，n∈N＋)，

两式相减得 an＝(n≥2，n∈N＋)．

当n＝1时，a1＝2，符合上式，所以 an＝(n∈N＋)．

又由题意得 3＝，所以 b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，

所以 b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N＋)，

两式相减得 bn＝32－n(n≥2，n∈N＋)．

当n＝1时，b1＝3，符合上式，所以 bn＝32－n(n∈N＋)．

所以 cn＝(2－k)n＋2k－1．

因为对任意的正整数 n都有 Sn≤S6，所以解得≤k≤，

所以实数 k的取值范围为．

【对点精练】

1．已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．

2．设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则 an＝________．

3．已知数列{an}满足 2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，则{an}的通项公式是________．

考点三　由 f(an，Sn)＝0消去 Sn型

【基本方法】

已知 Sn求an的方法

已知 f(an，Sn)＝0求an，如果能消去 Sn，则利用 an＝消去 Sn，主要分四个步骤完成：

(1)当n＝1时，先利用 a1＝S1，求得 a1；

(2)当n≥2 时，用 n－1替换 f(an，Sn)＝0中的 n得到一个新的关系式 f(an－1，Sn－1)＝0，两式相减，再逆

用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可得到当 n≥2，n∈N*时数列{an}的一个递推公式；

(3)借助各类递推公式求通项公式的方法求出当 n≥2，n∈N*时的通项公式；

(4)看a1是否符合 n≥2 时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的

形式．

【基本题型】

[例4] (1)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项 an＝________．

答案　　解析　∵an＋Sn＝1，①，∴a1＝，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②，由①－②，得 an－an－1＋an＝0，

即＝(n≥2)，∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，则 an＝×＝．

(2)(2013·全国Ⅰ)若数列{an}的前 n项和 Sn＝an＋，则{an}的通项公式是 an＝________．

答案　(－2)n－1　解析　当n＝1时，a1＝1；当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故 an＝(－

2)n－1．当 n＝1时，也符合 an＝(－2)n－1．综上，an＝(－2)n－1．

(3)设数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，则通项公式 an＝____________．

答案　　解析　由an＋1＝Sn①，可得 an＝Sn－1(n≥2)②，①－②得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)，即＝

2(n≥2)，又a2＝S1＝1，所以＝1≠2，则数列{an}从第二项起是以 1为首项 2为公比的等比数列，所以 an

＝

(4)已知数列{an}的首项 a1＝1，前 n项和为 Sn，且 Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是 an＝

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