《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题05 用构造辅助数列通项公式(原卷版)

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专题 5　用构造辅助数列通项公式

考点一　由 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且A≠1，B≠0)求an型

【基本方法】

已知 an＋1＝Aan＋B求an的方法 1

递推关系形如 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且A≠1，B≠0，A，B为常数)可化为 an＋1＋＝A(p≠1)的形式，利用是

以A为公比的等比数列求解．

已知 an＋1＝Aan＋B求an的方法 2

对于一个函数 f(x)，我们把满足 f(m)＝m的值 x＝m称为函数 f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以

构造新数列，求数列的通项公式．

若f(x)＝Ax＋B(A≠0，1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足 an＋1＝f(an)，则 an＋1－p＝A(an－p)，即{an－

p}是公比为 A的等比数列．

【基本题型】

[例1] (1)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

答案　an＝2·3n－1－1　解析　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数

列，公比 q＝3，又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1．

(迭代法)an＋1＝3an＋2，即 an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，所

以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又 a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为 an＝2×3n－1－1．

(2)已知数列{an}中，a1＝3，且点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 3x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式

为________．

答案　an＝·3n－1－　解析　因为点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 3x－y＋1＝0上，所以 3an－an＋1＋1＝

0，即 an＋1＝3an＋1，所以 an＋1＋＝3，所以数列是公比为 3的等比数列，首项为 a1＋＝3＋＝，所以 an＋＝

·3n－1，所以 an＝·3n－1－．

[例2] (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则数列{an}的通项公式为________．

答案　2－n－1　解析　设f(x)＝x＋1，令 f(x)＝x，即 x＋1＝x，得 x＝2，∴x＝2是函数 f(x)＝x＋1的不

动点，∴an＋1－2＝(an－2)，∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列，∴an－2＝－1×n－1，∴an

＝2－n－1，n∈N*．

(2)已知数列{an}满足 an＋1＝－an－2，a1＝4，则数列{an}的通项公式为________．

答案　－＋·n－1　解析　设f(x)＝－x－2，由 f(x)＝x，得 x＝－．∴an＋1＋＝－，又 a1＝4，∴是以为首

项，以－为公比的等比数列，∴an＋＝×n－1，∴an＝－＋·n－1，n∈N*．

【对点精练】

1．在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式 an＝________．

2．在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式 an＝________．

3．已知数列{an}中，a1＝3，且点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为

________．

考点二　由 an＋1＝pan＋f(n)求an型

【基本方法】

已知 an＋1＝pan＋f(n)求an的方法

递推关系形如 an＋1＝pan＋f(n)(p是非零常数)的数列{an}的通项公式，可先在两边同除以 f(n)后再用累

加法求得．

【基本题型】

[例3] (1)在数列{an}中，若 a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，则通项公式 an＝________．

答案　n·2n　解析　将式子 an＋1＝2an＋2n＋1两边同除以 2n＋1得，＝＋1，所以是首项、公差均为 1的

等差数列，所以＝n，an＝n·2n．

(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则通项公式 an＝________．

答案　B　解析　由题意得 an＝an－1＋n(n≥2)，∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即 3nan－3n－1an－1＝1(n≥2)．

又a1＝1，∴31·a1＝3，∴数列{3nan}是以 3为首项，1为公差的等差数列，∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋

2，∴an＝(n∈N*)．

(3)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，满足 2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且 a1，a2＋5，a3成等差数列，则

an＝________．

答案　3n－2n　解析　由a1，a2＋5，a3成等差数列可得 a1＋a3＝2a2＋10，由 2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得

2a1＋2a2＝a3－7，即 2a2＝a3－7－2a1，代入 a1＋a3＝2a2＋10，得 a1＝1，代入 2S1＝a2－22＋1，得 a2＝

5．2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得当 n≥2 时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减，得 2an＝an＋1－an－2n，即 an＋1＝3an＋

2n，当 n＝1时，5＝3×1＋21也适合 an＋1＝3an＋2n，所以对任意正整数 n，an＋1＝3an＋2n．上式两端同时除

以2n＋1，得＝·＋，两端同时加 1，得＋1＝·＋＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以＋1＝n，

所以＝n－1，所以 an＝3n－2n．

【对点精练】

1．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 an＝________．

2．在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝an－，则其通项公式 an＝________．

3．已知各项均不为 0的数列{an}满足 a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an

＝________．

考点三　由 an＋2＝pan＋1＋qan求an型

【基本方法】

已知 an＋2＝pan＋1＋qan求an的方法

递推关系形如 an＋2＝pan＋1＋qan型，可化为 an＋2＋xan＋1＝(p＋x)，令 x＝，求得 x来解决．

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