《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题07 等差数列的性质及应用(原卷版)

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专题 07　等差数列的性质及应用

【基本知识】

等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)，d＝(n≠m)．

(2)等距性：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq．

特别地，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有 am＋an＝2ap．

(3)单调性：d＞0⇔{an}为递增数列，若 d＜0⇔{an}为递减数列．d＝0⇔{an}为常数列；

(4)若{an}是等差数列，公差为 d，则等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…

(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列．

(5)若{an}，{bn}(项数相同)是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(6)若Sn为等差数列{an}的前 n项和，则数列也为等差数列，d＝ (n≠m)．

(7)等差数列{an}的前 n项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，公差为 nd．

(8)若项数为 2n，则 S偶－S奇＝nd，＝；

(9)若项数为 2n－1(n≥2)，则 S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝．

(10)两个等差数列{an}，{bn}的前 n项和 Sn，Tn之间的关系为＝．

考点一　性质(1)的应用

【基本题型】

[例1] (1)在等差数列{an}中，已知 a3＝10，a8＝－20，则公差 d等于(　　)

A．3　　　　　　　　B．－6　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．－3

答案　B　解析　由等差数列的性质得所以 d＝＝－6．

(2)在等差数列{an}(n∈N*)中，若 a1＝a2＋a4，a8＝－3，则 a20 的值是________．

答案　－15　解析　∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4，又 a1＝a2＋a4，∴a5＝0，∴d＝＝＝－

1，故 a20＝a5＋15d＝－15．

(3)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则 a75＝________．

答案　24　解析　利用 an＝am＋(n－m)d)设数列 {an}的公差为 d，则 a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，所

以d＝＝＝，所以 a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24．

(4)已知{bn}为等差数列，若 b3＝－2，b10＝12，则 b8＝________．

答案　3 004　解析　方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为 d，则 d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d

＝2n－8．∴b8＝2×8－8＝8．

方法二　由＝＝d，得 b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8．

(5)已知{an}为等差数列，且 a100＝304，a300＝904，则 a1 000＝________．

答案　3 004　解析　因为{an}为等差数列，则 d＝＝，解得 a1 000＝3 004．

(6)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，a3＝3，a5＝5，则 S7的值是(　　)

A．30　　　　　　　　B．29　　　　　　　　C．28　　　　　　　　D．27

答案　C　解析　由题意，设等差数列的公差为 d，则 d＝＝1，故 a4＝a3＋d＝4，所以 S7＝＝＝7×4＝

28．故选 C．

考点二　性质(2)的应用

【基本题型】

[例2] (1)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则 a12 的值是(　　)

A．15　　　　　　　　B．30　　　　　　　　C．31　　　　　　　　D．9

答案　A　解析　由a3＋a4＋a5＝3及等差数列的性质，∴3a4＝3，则 a4＝1．又 a4＋a12＝2a8，得 1＋

a12＝2×8．∴a12＝16－1＝15．

(2)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8＝________．

答案　180　解析　由等差数列的性质，得 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5

＝180．

(3)等差数列 an中，若 a2，a2 020 为方程 x2－10x＋16＝0的两根，则 a1＋a1 011＋a2 021 等于(　　)

A．10　　　　　　　　B．15　　　　　　　　C．20　　　　　　　　D．40

答案　B　解析　∵a2，a2 020 为方程 x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2 020＝10，由等差数列的性质得

2a1 011＝10，即 a1 011＝5，∴a1＋a1 011＋a2 021＝3a1 011＝15．

(4)数列{an}满足 3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则 log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　)

A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．

答案　B　解析　答案　C　解析　由3＋an＝an＋1，得 an＋1－an＝3．所以{an}是公差为 3的等差数列．

又a2＋a4＋a6＝9，且 a2＋a6＝2a4，所以 3a4＝9，则 a4＝3，所以 a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故 log6(a5＋a7

＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2．

(5)在等差数列{an}中，若 a＋2a2a8＋a6a10＝16，则 a4a6＝________．

答案　4　解析　∵在等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，∴(a2＋a6)(a2

＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4．

(6)等差数列{an}，{bn}满足对任意 n∈N*都有＝，则＋＝________．

答案　1　解析　由等差数列的性质可得 b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以＋＝＝＝＝1．

[例3] (1)等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a4，a10 是方程 x2－8x＋1＝0的两根，则 S13＝(　　)

A．58　　　　　　　　B．54　　　　　　　　C．56　　　　　　　　D．52

答案　D　解析　∵a4，a10 是方程 x2－8x＋1＝0的两根，∴a4＋a10＝8，∴a1＋a13＝8，∴S13＝＝＝

52．

(2)等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前 9项和 S9等于(　　)

A．99　　　　　　　　B．66　　　　　　　　C．144　　　　　　　　D．297

答案　A　解析　由等差数列的性质可得 a1＋a7＝2a4，a3＋a9＝2a6，又∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9

＝27，∴3a4＝39，3a6＝27，解得 a4＝13，a6＝9，∴a4＋a6＝22，∴数列{an}的前 9项和 S9＝＝＝＝99．

(3)设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，已知前 6项和为 36，最后 6项的和为 180，Sn＝324(n＞6)，则数

列{an}的项数为________．

答案　18　解析　由题意知 a1＋a2＋…＋a6＝36，①，an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②，①＋②得

(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又 Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝

18．

(4)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则 S110＝________．

答案　　解析　方法一　设数列{an}的公差为 d，首项为 a1，则解得所以 S110＝110a1＋d＝－110．

方法二　因为 S100－S10＝＝－90，所以 a11＋a100＝－2，所以 S110＝＝＝－110．

(5)已知函数 y＝f(x＋1)的图象关于 y轴对称，且函数 f(x)在(1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为 0

的等差数列，且 f(a4)＝f(a18)，则{an}的前 21 项和为(　　)

A．0　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．21 　　　　　　　　D．42

答案　C　解析　函数 y＝f(x＋1)的图象关于 y轴对称，平移可得 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称，

且函数 f(x)在(1，＋∞)上单调，由数列{an}是公差不为 0的等差数列，且 f(a4)＝f(a18)，可得 a4＋a18＝2，

所以 a1＋a21＝a4＋a18＝2，可得数列{an}的前 21 项和 S21＝＝21．故选 C．

(6)等差数列{an}的各项均不为零，其前 n项和为 Sn．若 a＝an＋2＋an，则 S2n＋1＝________．

答案　4n＋2　解析　因为{an}为等差数列，所以 an＋2＋an＝2an＋1，又 a＝an＋2＋an，所以 a＝2an＋1．

因为数列{an}的各项均不为零，所以 an＋1＝2，所以 S2n＋1＝＝＝4n＋2．

(7)在数列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且 an≠0．若 an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，且 S2n－1＝38，则 n＝(　　)

A．38

B．20

C．10

D．9

答案　C　解析　在数列{an}中，因为 2an＋1＝an＋an＋2，所以 an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}为

等差数列．由 an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，得 2an－a＝0，又 an≠0，解得 an＝2．又 S2n－1＝38，即＝(2n－1)an

＝38，即(2n－1)×2＝38，解得 n＝10．

(8)设正项数列{an}的前 n项和为 Sn，且 4Sn＝(1＋an)2(n∈N*)，则 a5＋a6＋a7＋a8＝(　　)

A．24　　　　　　　　B．48　　　　　　　　C．64　　　　　　　　D．72

答案　B　解析　当n＝1时，由S1＝a1＝，得a1＝1，当n≥2 时，得 4an＝(1＋an)2－(1＋an－1)2，∴a－

a－2an－2an－1＝0，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0．∵an>0，∴an－an－1＝2，∴{an}是等差数列，∴an＝2n－

1，∴a5＋a6＋a7＋a8＝2(a6＋a7)＝48．

【对点精练】

1．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则 a2等于(　　)

A．3　　　　　　　　B．－3　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

2．已知等差数列{an}满足 a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)

A．a1＋a101>0　　　　B．a1＋a101<0　　　　C．a3＋a99＝0　　　　D．a51＝51

3．已知数列{an}是等差数列，若 a1－a9＋a17＝7，则 a3＋a15 等于(　　)

A．7　　　　　　　　B．14　　　　　　　　C．21　　　　　　　　D．7(n－1)

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