《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题10 等比数列的性质及应用(原卷版)

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专题 10　等比数列的性质及应用

【基本知识】

等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)，q＝

(2)等距性：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am· a n＝ap· a q．

特别地，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有 am· a n＝ a ．

注意：在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*)，则不一定有 m＋n＝p＋q成立，如当数

列{an}是非零常数列时，此结论不成立．

(3)单调性：若或⇔{an}递增．若或⇔{an}递减．q＝1⇔{an}为常数列，q＜0⇔{an}为摆动数列．

(4)若{an}是等比数列，公比为 q，则等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…

(k，m∈N*)是公比为 qk的等比数列．

(5)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

(6)若a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，，，…成等比数列．

(7)等比数列{an}的前 n项和为 Sn(Sn≠0)，则 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列，公比为 qk (当公比 q＝－

1，k不能取正偶数)．

注意：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比 q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－

S2n不成等比数列；当 q≠－1或q＝－1时且 n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－

Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．即当 q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．

(8)若项数为 2n，则＝q．

(9)若项数为 2n－1(n≥2)，则＝q．

(10)分段求和：Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn．

考点一　性质(2)的应用

【基本题型】

[例1] (1)在等比数列{an}中，若 a3，a7是方程 x2＋4x＋2＝0的两根，则 a5的值是(　　)

A．－2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．±　　　　　　　　D．

答案　B　解析　根据根与系数之间的关系得 a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由 a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所

以a3<0，a7<0，即 a5<0，由 a3a7＝a，得 a5＝－＝－．

(2)公比不为 1的等比数列{an}满足 a5a6＋a4a7＝18，若 a1am＝9，则 m的值为(　　)

A．8　　　　　　　　B．9　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．11

答案　C　解析　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10．

(3)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则 a＋2a2a6＋a3a7＝(　　)

A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．8－4

答案　C　解析　在等比数列{an}中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以 a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋

a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8，故选 C．

(4)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前 8项和等于(　　)

A．6　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．3

答案　C　解析　数列{lg an}的前 8项和 S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝

lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4．

(5)等比数列{an}的各项均为正数，且 a5a6＋a4a7＝18，则 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)

A．12　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．2＋log35

答案　B　解析　由等比数列的性质知 a5a6＝a4a7，又 a5a6＋a4a7＝18，所以 a5a6＝9，则原式＝

log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10．

(6)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的 m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且 a3·a5＋a4＝72，则

log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________．

答案　21　解析　因为对任意的 m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，令 m＝1，则 a1·an＝a1＋n对任意的

n∈N*恒成立，∴数列{an}为等比数列，公比为 a1，由等比数列的性质有 a3a5＝a，因为 a3·a5＋a4＝72，则 a

＋a4＝72，∵a4＞0，∴a4＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2a＝log287＝21．

(7)在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)

A．2　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．16

答案　A　解析　由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋．因为 a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，

又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2．

(8)已知函数 f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足 a1a2020＝1，则 f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于(

)

A．2 020　　　　　　　　B．1 010　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．

答案　A　解析　∵a1a2 020＝1，∴f(a1)＋f(a2 020)＝＋＝＋＝＋＝2，∵{an}为等比数列，则 a1a2 020＝a2a2

019＝…＝a1 010a1 011＝1，∴f(a2)＋f(a2 019)＝2，…，f(a1 010)＋f(a1 011)＝2，即 f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)＝

2×1 010＝2 020．

【对点精练】

1．等比数列{an}中，a5，a7是函数 f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则 a3·a9等于(　　)

A．－3　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．－4　　　　　　　　D．4

2．在等比数列{an}中，a2，a16 是方程 x2＋6x＋2＝0的根，则＝(　　)

A．－　　　　　　　B．－　　　　　　　C．　　　　　　　D．－或

3．已知等比数列{an}满足 a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则 a2＝(　　)

A．2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

4．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则 a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　)

A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．－9

5．等比数列的各项均为正数，且 a1a5＝4，则 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．

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