《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题08 等差数列的判定与证明(解析版)

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专题 08　等差数列的判定与证明

【基本方法】

等差数列的四个判定方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．

提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前 n项和公式法主要适合在

选择题或填空题中使用．

(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．

【基本题型】

[例1]　(1)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是(　　)

A．{an＋1－an}是等差数列　　　　　　　B．{bn＋1－bn}是等差数列

C．{an－bn}是等差数列　　　　　　　　D．{an＋bn}是等差数列

答案　D　解析　对于 A，因为 an＝(n＋1)2，所以 an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设 cn＝2n＋

3，所以 cn＋1－cn＝2．所以{an＋1－an}是等差数列，故 A正确；对于 B，因为 bn＝n2－n(n∈N*)，所以 bn＋1

－bn＝2n，设 cn＝2n，所以 cn＋1－cn＝2，所以{bn＋1－bn}是等差数列，故 B正确；对于 C，因为 an＝(n＋

1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，所以 an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设 cn＝3n＋1，所以 cn＋1－cn＝3，所以{an

－bn}是等差数列，故 C正确；对于 D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设 cn＝an＋bn，cn＋1－cn不是常数，故 D错误．

(2)若{an}是公差为 1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)

A．公差为 3的等差数列　　　　　　　　　　B．公差为 4的等差数列

C．公差为 6的等差数列　　　　　　　　　　D．公差为 9的等差数列

答案　C　解析　令bn＝a2n－1＋2a2n，则 bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，故 bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)

＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6．即{a2n－1＋2a2n}是公差为 6的等差数列．

(3)(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　)

A．{|an|}　　　　　B．{an＋1－an}　　　　　C．{pan＋q}(p，q为常数)　　　　　D．{2an＋n}

答案　BCD　解析　数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，A不成立．

若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立．若{an}的公差

为d，则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd 为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立．(2an＋1＋n＋1)－

(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，D成立．

(4)已知数列{an}的前 n项和是 Sn，则下列四个命题中，错误的是(　　)

A．若数列{an}是公差为 d的等差数列，则数列是公差为的等差数列

B．若数列是公差为 d的等差数列，则数列{an}是公差为 2d的等差数列

C．若数列{an}是等差数列，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列

D．若数列{an}的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}是等差数列

答案　D　解析　A项，若等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前 n项的和为 Sn，则数列为等差数

列，且通项为＝a1＋(n－1)，即数列是公差为的等差数列，故说法正确；B项，由题意得＝a1＋(n－1)d，

所以 Sn＝na1＋n(n－1)d，则 an＝Sn－Sn－1＝a1＋2(n－1)d，即数列{an}是公差为 2d的等差数列，故说法正

确；C项，若等差数列{an}的公差为 d，则数列的奇数项、偶数项都是公差为 2d的等差数列，故说法正确；

D项，若数列{an}的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不一定是等差数列，例如：

{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选 D．

(5)已知无穷数列{an}的前 n项和 Sn＝an2＋bn＋c，其中 a，b，c为实数，则(　　)

A．{an}可能为等差数列　　　　　　　　　　　　B．{an}可能为等比数列

C．{an}中一定存在连续的三项构成等差数列　　　D．{an}中一定存在连续的三项构成等比数列

答案　ABC　解析　解法一：因为 Sn＝an2＋bn＋c，所以 Sn－1＝a(n－1)2＋b(n－1)＋c(n≥2)，所以 an

＝Sn－Sn－1＝2na－a＋b(n≥2)，若数列{an}为等差数列，则 a1＝a＋b＋c＝a＋b，c＝0，验证知，当 c＝0时，

{an}为等差数列，所以 A正确；在 an＝2na－a＋b(n≥2)中，当 a＝0，b≠0 时，an＝b(n≥2)，若数列{an}为等

比数列，则 a1＝b＋c＝b，c＝0，验证知，当 a＝c＝0，b≠0 时，{an}为等比数列，所以 B正确；由 an＝

2na－a＋b(n≥2)可知，{an}中一定存在连续的三项构成等差数列，所以 C正确；假设 ak，ak＋1，ak＋2(k≥2，

且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka－a＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即

1＝0(不成立)，所以{an}中不存在连续的三项构成等比数列，所以 D错误．故选 ABC．

解法二：当 c＝0，a≠0 时，数列{an}为等差数列，所以 A正确；当 a＝c＝0，b≠0 时，数列{an}为常

数列，也是等比数列，所以 B正确；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2na－a＋b，则{an}中一定存在连续的三项

构成等差数列，所以 C正确；假设 ak，ak＋1，ak＋2(k≥2，且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka

－a＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即1＝0(不成立)，所以{an}中不存在连续的三项构成

等比数列，所以 D错误．故选 ABC．

(6)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|

＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点 P与Q不重合)．若 dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(

)

A．{Sn}是等差数列　　B．{S}是等差数列　　C．{dn}是等差数列　　D．{d}是等差数列

答案　A解析　作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线 B1Bn，垂足分别为 C1，C2，C3，…，Cn，

则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn．∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|．设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝

c，则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－

b)]，∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．

[例2]　已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a3＝7，a5＋a7＝26．

(1)求an及Sn；

(2)令bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}为等差数列．

解析　(1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由题意有解得 a1＝3，d＝2，

则an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝＝＝n(n＋2)．

(2)因为 bn＝＝＝n＋2，又 bn＋1－bn＝n＋3－(n＋2)＝1，

所以数列{bn}是首项为 3，公差为 1的等差数列．

[例3]　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足 bn＝(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

解析　(1)因为 an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，

所以 bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1．又 b1＝＝－．

所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

(2)由(1)知bn＝n－，则 an＝1＋＝1＋．

设f(x)＝1＋，则 f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．

所以当 n＝3时，an取得最小值－1，当 n＝4时，an取得最大值 3．

[例4]　在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列的前 n项和 Sn．

解析　(1)证法一：nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n的两边同时除以 n(n＋1)，得－＝2，又＝4，

所以数列是首项为 4，公差为 2的等差数列．

证法二：因为－＝＝＝2，＝4，

所以数列是首项为 4，公差为 2的等差数列．

(2)由(1)，得＝a1＋2(n－1)，即＝2n＋2，即 an＝2n2＋2n，

故＝＝·＝，

所以 Sn＝＝＝．

[例5]　数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前 n项和 Sn．

解析　(1)由已知可得＝＋1，即－＝1，所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．

(2)由(1)得，＝1＋(n－1)·1＝n，所以 an＝n2，从而可得 bn＝n·3n．

Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n　①，

3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n＋n×3n＋1　②．

①－②，得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝，

所以 Sn＝．

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