《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题06 等差数列基本量的计算(解析版)

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专题 06　等差数列基本量的计算

1．等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就

叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d表示，定义表达式为 an－an－1＝d(常数)

(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．

(2)等差中项

若三个数，a，A，b成等差数列，则 A叫做 a与b的等差中项，且有 A＝．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝．

【基本方法】

解决等差数列基本量计算问题的方法

(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出 a1和d，利用等差数列的通项公式和前

n项和公式列方程(组)求解即可．

(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式 an＝a1＋(n－1)d和前 n项和公式 Sn＝＝na1

＋d，在这两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程

(组)可求出剩余的两个量．

【基本题型】

[例1] (1)(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(

)

A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．8

答案　C　解析　设等差数列{an}的公差为 d，则由得即解得 d＝4．

(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝(　　)

A．－12　　　　　　　　B．－10　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．12

答案　B　解析　由3S3＝S2＋S4，得：3(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a1＋a2＋a3＋a4，∴a1＋a2＋2a3＝a4，设

公差为 d，则 4a1＋5d＝a1＋3d，∴d＝－a1＝－3．∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10．

(3)(2014·福建)等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝2，S3＝12，则 a6等于(　　)

A．8　　　　　　　　　B．10　　　　　　　　　C．12　　　　　　　　　D．14

答案　C　解析　由题意知 a1＝2，由 S3＝3a1＋×d＝12，解得 d＝2，所以 a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，

故选 C．

(4)(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为 27，a10＝8，则 a100＝(　　)

A．100　　　　　　　　B．99　　　　　　　　C．98　　　　　　　　D．97

答案　C　解析　设等差数列{an}的公差为 d，由已知，得所以所以 a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98．

(5)设数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，且 2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则 a18＝(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．

答案　B　解析　令bn＝nan，则 2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，所以{bn}为等差数列，因为 b1＝1，b2＝4，

所以公差 d＝3，则 bn＝3n－2，所以 b18＝52，则 18a18＝52，所以 a18＝．

(6)设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，S3＝6，S4＝12，则 S6＝________．

答案　30　解析　法一　设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由 S3＝6，S4＝12，可得解得所以 S6＝

6a1＋15d＝30．

法二　由{an}为等差数列，故可设前 n项和 Sn＝An2＋Bn，由 S3＝6，S4＝12 可得解得即 Sn＝n2－n，

则S6＝36－6＝30．

(7) (2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a1＝－2，a2＋a6＝2，则 S10＝________．

答案　25　解析　设等差数列{an}的公差为 d，由a1＝－2，a2＋a6＝2，可得 a1＋d＋a1＋5d＝2，即－

2＋d＋(－2)＋5d＝2，解得 d＝1．所以 S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25．

(8)(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n项和

为________．

答案　3n2－2n　解析　设bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则 2n－1＝3m－2，得 n＝＝＝＋1，于是

m－1＝2k，k∈N，所以 m＝2k＋1，k∈N，则 ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得 an＝6n－5，n∈N*．故

Sn＝×n＝3n2－2n．

(9)(2013·全国Ⅰ)设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则 m等于(　　)

A．3　　　　　　　　　B．4　　　　　　　　　C．5　　　　　　　　　D．6

答案　C　解析　由题意得 am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故 d＝1，因为 Sm＝0，故 ma1＋d

＝0，故 a1＝－，因为 am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，故 am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即

m＝5．

(10)数列{an}不是常数列，满足 a1＝，a5＝，且 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1对任何的正整数 n都

成立，则＋＋…＋的值为(　　)

A．1 475　　　　　　　　B．1 425　　　　　　　　C．1 325　　　　　　　　D．1 275

答案　1 425　解析　因为 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝na1an＋1，所以当 n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝

(n－1)a1an，两式相减可得 anan＋1＝na1an＋1－(n－1)a1an，即＝－，则＝－，则－＝－，即＋＝，即数列是

等差数列，又由 a1＝，a5＝可得数列{}的公差 d＝1，则＝53，则＋＋…＋＝＝1 425．

[例2]　在公差为 d的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 5a3·a1＝(2a2＋2)2．

(1)求d，an；

(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|．

解析　(1)由题意得 5a3·a1＝(2a2＋2)2，即 d2－3d－4＝0，故 d＝－1或d＝4，

所以 an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*．

(2)设数列{an}的前 n项和为 Sn，因为 d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，

则当 n≤11 时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝＝－n2＋n，

当n≥12 时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－an

＝－Sn＋2S11＝－＋2×＝n2－n＋110．

综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝

[例3]　已知数列{an}满足 a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)·(an＋n)(n∈N*)．

(1)求证数列是等差数列，并求其通项公式；

(2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前 n项和 Tn．

解析　(1)证明：因为 n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．

所以 nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)．所以－＝2，所以数列是等差数列，其公差为 2，首项为 2，

所以＝2＋2(n－1)＝2n．

(2)由(1)知an＝2n2，所以 bn＝－15＝2n－15，

则数列{bn}的前 n项和 Sn＝＝n2－14n．

令bn＝2n－15≤0，解得 n≤7.5．所以当 n≤7时，

数列{|bn|}的前 n项和 Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n；

当n≥8时，数列{|bn|}的前 n项和 Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn

＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98．

所以 Tn＝

【对点精练】

1．已知等差数列{an}中，a2＝1，前 5项和 S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)

A．－3　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－2　　　　　　　　D．－4

1．答案　D　解析　设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，因为所以

解得 d＝－4．

2．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　　)

A．　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　D．3

2．答案　C　解析　∵Sn＝，∴＝，又－＝1，得－＝1，即 a3－a2＝2，

∴数列{an}的公差为 2．

3．设{an}为等差数列，公差 d＝－2，Sn为其前 n项和，若 S10＝S11，则 a1等于(　　)

A．18　　　　　　　　　B．20　　　　　　　　　C．22　　　　　　　　　D．24

3．答案　B　解析　因为 S10＝S11，所以 a11＝0．又因为 a11＝a1＋10d，所以 a1＝20．

4．若等差数列{an}的前 5项和 S5＝25，且 a2＝3，则 a7等于(　　)

A．12　　　　　　　　　B．13　　　　　　　　　C．14　　　　　　　　　D．15

4．答案　B　解析　由题意得 S5＝＝5a3＝25，故 a3＝5，公差 d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2

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