《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题05 用构造辅助数列通项公式(解析版)

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专题 5　用构造辅助数列通项公式

考点一　由 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且A≠1，B≠0)求an型

【基本方法】

已知 an＋1＝Aan＋B求an的方法 1

递推关系形如 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且A≠1，B≠0，A，B为常数)可化为 an＋1＋＝A(p≠1)的形式，利用是

以A为公比的等比数列求解．

已知 an＋1＝Aan＋B求an的方法 2

对于一个函数 f(x)，我们把满足 f(m)＝m的值 x＝m称为函数 f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以

构造新数列，求数列的通项公式．

若f(x)＝Ax＋B(A≠0，1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足 an＋1＝f(an)，则 an＋1－p＝A(an－p)，即{an－

p}是公比为 A的等比数列．

【基本题型】

[例1] (1)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

答案　an＝2·3n－1－1　解析　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数

列，公比 q＝3，又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1．

(迭代法)an＋1＝3an＋2，即 an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，所

以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又 a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为 an＝2×3n－1－1．

(2)已知数列{an}中，a1＝3，且点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 3x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式

为________．

答案　an＝·3n－1－　解析　因为点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 3x－y＋1＝0上，所以 3an－an＋1＋1＝

0，即 an＋1＝3an＋1，所以 an＋1＋＝3，所以数列是公比为 3的等比数列，首项为 a1＋＝3＋＝，所以 an＋＝

·3n－1，所以 an＝·3n－1－．

[例2] (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则数列{an}的通项公式为________．

答案　2－n－1　解析　设f(x)＝x＋1，令 f(x)＝x，即 x＋1＝x，得 x＝2，∴x＝2是函数 f(x)＝x＋1的不

动点，∴an＋1－2＝(an－2)，∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列，∴an－2＝－1×n－1，∴an

＝2－n－1，n∈N*．

(2)已知数列{an}满足 an＋1＝－an－2，a1＝4，则数列{an}的通项公式为________．

答案　－＋·n－1　解析　设f(x)＝－x－2，由 f(x)＝x，得 x＝－．∴an＋1＋＝－，又 a1＝4，∴是以为首

项，以－为公比的等比数列，∴an＋＝×n－1，∴an＝－＋·n－1，n∈N*．

【对点精练】

1．在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式 an＝________．

1．答案　2n＋1－3　解析　设递推公式 an＋1＝2an＋3可以转化为 an＋1＋t＝2(an＋t)，即 an＋1＝2an＋t，解得

t＝3．故 an＋1＋3＝2(an＋3)．令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且＝＝2．所以{bn}是以 4为首项，2为

公比的等比数列．∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3．

2．在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式 an＝________．

2．答案　2n－1　解析　由题意知 an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以 2为首项，2为公比的等比数列，

∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1．

3．已知数列{an}中，a1＝3，且点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为

________．

3．答案　an＝×4n－1－

解析　因为点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线 4x－y＋1＝0上，所以 4an－an＋1＋1

＝0．所以 an＋1＋＝4．因为 a1＝3，所以 a1＋＝．故数列是首项为，公比为 4的等比数列．所以 an＋＝

×4n－1，故数列{an}的通项公式为 an＝×4n－1－．

考点二　由 an＋1＝pan＋f(n)求an型

【基本方法】

已知 an＋1＝pan＋f(n)求an的方法

递推关系形如 an＋1＝pan＋f(n)(p是非零常数)的数列{an}的通项公式，可先在两边同除以 f(n)后再用累

加法求得．

【基本题型】

[例3] (1)在数列{an}中，若 a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，则通项公式 an＝________．

答案　n·2n　解析　将式子 an＋1＝2an＋2n＋1两边同除以 2n＋1得，＝＋1，所以是首项、公差均为 1的

等差数列，所以＝n，an＝n·2n．

(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则通项公式 an＝________．

答案　B　解析　由题意得 an＝an－1＋n(n≥2)，∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即 3nan－3n－1an－1＝1(n≥2)．

又a1＝1，∴31·a1＝3，∴数列{3nan}是以 3为首项，1为公差的等差数列，∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋

2，∴an＝(n∈N*)．

(3)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，满足 2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且 a1，a2＋5，a3成等差数列，则

an＝________．

答案　3n－2n　解析　由a1，a2＋5，a3成等差数列可得 a1＋a3＝2a2＋10，由 2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得

2a1＋2a2＝a3－7，即 2a2＝a3－7－2a1，代入 a1＋a3＝2a2＋10，得 a1＝1，代入 2S1＝a2－22＋1，得 a2＝

5．2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得当 n≥2 时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减，得 2an＝an＋1－an－2n，即 an＋1＝3an＋

2n，当 n＝1时，5＝3×1＋21也适合 an＋1＝3an＋2n，所以对任意正整数 n，an＋1＝3an＋2n．上式两端同时除

以2n＋1，得＝·＋，两端同时加 1，得＋1＝·＋＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以＋1＝n，

所以＝n－1，所以 an＝3n－2n．

【对点精练】

1．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 an＝________．

1．答案　n·2n－1　解析　an＋1－2an＝2n两边同除以 2n＋1，可得－＝，又＝，∴数列是以为

首项，为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝n·2n－1．

2．在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝an－，则其通项公式 an＝________．

2．答案　　解析　由an＋1＝an－得 2nan＋1＝2n－1an－1，令 bn＝2n－1an，则 bn＋1－bn＝－1，又 a1＝1，

∴b1＝1，∴bn＝1＋(n－1)×(－1)＝－n＋2．即 2n－1an＝－n＋2，∴an＝．

3．已知各项均不为 0的数列{an}满足 a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an

＝________．

3．解　∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为 0，∴－＝1．∴{}为首项是 2，公差为 1的等差数列，

∴＝n＋1，∴当 n≥2时，an＝．∵a1＝也符合上式，∴an＝(n∈N*)．

考点三　由 an＋2＝pan＋1＋qan求an型

【基本方法】

已知 an＋2＝pan＋1＋qan求an的方法

递推关系形如 an＋2＝pan＋1＋qan型，可化为 an＋2＋xan＋1＝(p＋x)，令 x＝，求得 x来解决．

【基本题型】

[例4] 已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式 an＝

________．

答案　3×2n－1－2　解析　由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得 an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以

a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴当n≥2 时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2

＝3×2，a2－a1＝3，将以上各式累加，得 an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(当n

＝1时，也满足)．

【对点精练】

1．若 a1＝5，a2＝2，an＋2＝2an＋1＋3an，则 an＝________．

1．答案　　解析　设an＋2＋xan＋1＝(2＋x)an＋1＋3an(x≠－2，x是待定系数)，即 an＋

2＋xan＋1＝(2＋x)，令 x＝，解得 x＝－3或1．当 x＝－3时，得 an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，所以{an＋1

－3an}是首项为－13、公比为－1的等比数列，得 an＋1－3an＝－13·(－1)n－1．当 x＝1时，同理可得 an＋

1＋an＝7·3n－1，解关于 an＋1，an的方程组可得 an＝．

考点四　由 an＋1＝求an型

【基本方法】

已知 an＋1＝求an的方法 1

递推关系形如 an＋1＝型可取倒数，构造新数列求解．

已知 an＋1＝求an的方法 2

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