《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题04 用累加法与累乘法求通项公式(解析版)

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专题 04　用累加法与累乘法求通项公式

考点一　由 an＋1－an＝f(n)求an型

【基本方法】

已知 an＋1－an＝f(n)求an的方法

累加法：已知 a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，则 an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2

－a1＝f(2)．所有等式左右两边分别相加，即 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1

(n≥2)．代入 a1得an．

【基本题型】

[例1] (1)设数列{an}满足 a1＝1，且 an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

答案　an＝　解析　由题意得 a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得 an

－a1＝2＋3＋…＋n＝＝．∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝．

(2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列的通项公式为 an＝________．

答案　2n－1　解析　由题意，知 an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1

＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1．

(3)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则 an等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　B　解析　方法一　(归纳法)　数列的前 5项分别为 a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，a3＝＋－＝2

－＝，a4＝＋－＝2－＝，a5＝＋－＝2－＝，又 a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为 an＝．

方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)，则 an＝a1＋1－＋－＋－＋…

＋－＝2－＝(n≥2)．又 a1＝1也适合上式，所以 an＝(n∈N*)．

方法三　(累加法)　an＋1－an＝－，a1＝1，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…an－an－1＝－

(n≥2)，以上各项相加得 an＝1＋1－＋－＋…＋－．所以 an＝(n≥2)．因为 a1＝1也适合上式，所以 an＝

(n∈N*)．

(4)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则 an等于(　　)

A．2＋ln n　　　　　B．2＋(n－1)ln n

C．2＋nln n

D．1＋n＋ln n

答案　A　解析　因为 an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－lnn，所以 a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－

a3＝ln 4－ln 3，……，an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)．把以上各式分别相加得 an－a1＝ln n－ln1，则 an＝2

＋ln n(n≥2)，且 a1＝2也适合，因此 an＝2＋ln n(n∈N＋)．

(5)在数列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)·(an＋1－an)＝1(n∈N*)，则通项公式 an＝________．

答案　－　解析　由(n2＋2n)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，得 an＋1－an＝＝＝，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)

＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋1＝＋1＝－．

[例2]　(2018·浙江)已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数

列{bn}满足 b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前 n项和为 2n2＋n．

(1)求q的值；

(2)求数列{bn}的通项公式．

解析　(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得 a3＋a5＝2a4＋4，所以 a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得 a4＝

8．

由a3＋a5＝20 得8＝20，解得 q＝2或q＝，因为 q>1，所以 q＝2．

(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前n项和为 Sn．由 cn＝解得 cn＝4n－1．

由(1)可知 an＝2n－1，所以 bn＋1－bn＝(4n－1)·n－1，故 bn－bn－1＝(4n－5)·n－2，n≥2，

bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·n－2＋(4n－9)·n－3＋…＋7·＋3．

设Tn＝3＋7·＋11·2＋…＋(4n－5)·n－2，n≥2，

Tn＝3·＋7·2＋…＋(4n－9)·n－2＋(4n－5)·n－1，

所以 Tn＝3＋4·＋4·2＋…＋4·n－2－(4n－5)·n－1＝7－(4n＋3)·n－1，

因此 Tn＝14－(4n＋3)·n－2，n≥2，

又b1＝1，所以 bn＝15－(4n＋3)·n－2．

【对点精练】

1．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项 an＝____________．

1．答案　＋1　解析　由题意得，当 n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2

＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1．又 a1＝2＝＋1，符合上式，因此 an＝＋1．

2．已知数列{an}满足 an＋1＝an＋3n＋2，且 a1＝2，则 an＝________．

2．答案　n2＋　　解析　∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)．∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)

＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2＝×n＝(n≥2)．当 n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公

式，∴an＝n2＋．

3．若数列{an}满足 a1＝1，an＋1－an－1＝2n，则 an等于(　　)

A．2n＋n－2　　　　B．2n－1＋n－1　　　　C．2n＋1＋n－4 　　　　D．2n＋1＋2n－2

3．答案　A　解析　∵an＋1－an＝2n＋1，∴a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，an－an－1

＝2n－1＋1(n≥2)，以上各式相加得，an－a1＝21＋…＋2n－1＋(n－1)＝＋n－1＝2n＋n－3，∴an＝2n＋n－

2，选 A．

4．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式 an＝________．

4．答案　4－　解析　原递推公式可化为 an＋1－an＝－，则 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2

－a1)＋a1＝＋＋…＋＋3＝1－＋3＝4－．

5．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，则 an＝________．

5．答案　　解析　因为 an＝an－1＋－(n≥2)，所以 an－an－1＝－．所以 an＝(an－an－1)＋

(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1．又 a1＝1也符合上式，所以 an＝－

＋1，n∈N*．

6．在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则 an＝________．

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