《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题03 用an与Sn的关系求通项公式(解析版)

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专题 03　用 an与Sn的关系求通项公式

【基本知识】

Sn与an的关系

已知数列{an}的前 n项和为 Sn，则 an＝这个关系式对任意数列均成立．

注意：Sn与an关系的二重性，即用 Sn与an关系可消去 an，也可消去 Sn．(1)正用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)消

去an转化为只含 Sn，Sn－1的关系式．(2)逆用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)消去 Sn转化为只含 an，an－1的关系式，再求

解．

提醒：利用 an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意 n≥2 这一前提条件，易忽视验证 n＝1致误．

考点一　由 Sn＝f(n)求an型

【基本方法】

已知 Sn＝f(n)求an的方法

已知 Sn＝f(n)求an的常用方法是利用 an＝主要分三个步骤完成：

(1)当n＝1时，在 Sn＝f(n)中，令 n＝1，求得 a1＝f(1)；

(2)当n≥2时，再利用 an＝Sn－Sn－1＝f(n)－f(n－1) (n≥2)，求出 an＝f(n)－f(n－1)．即当 n≥2，n∈N*时

的通项公式；

(3)检查 a1是否符合 n≥2 时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成 an＝f(n)－f(n－

1)；否则应写成分段的形式，即 an＝

【基本题型】

[例1] (1)已知数列{an}的前 n项和 Sn＝n2＋2n，则 an＝________．

答案　2n＋1　解析　当n＝1时，a1＝S1＝3．当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]

＝2n＋1．由于 a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1．

(2)已知数列{an}的前 n项和 Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则 an＝________；

答案　　解析　当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1．因此 an＝

(3)已知数列{an}的前 n项和 Sn＝3n＋1，则 an＝________．

答案　　解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－

1．当 n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以 an＝

【对点精练】

1．已知数列{an}的前 n项和 Sn＝2n2－3n，则 an＝________．

1．答案　4n－5　解析　a1＝S1＝2－3＝－1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝

4n－5，由于 a1也适合此等式，∴an＝4n－5．

2．若数列{an}的前 n项和 Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式 an＝________．

2．答案　　解析　当 n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2

－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当 n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为 an＝

3．若 Sn＝3n＋2n＋1，则数列{an}的通项公式为________________．

3．答案　an＝　解析　因为当 n＝1时，a1＝S1＝6；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n

＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于 a1不适合此式，所以 an＝

4．已知 Sn为数列{an}的前 n项和，且 log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________________．

4．答案　an＝　解析　由log2(Sn＋1)＝n＋1，得 Sn＋1＝2n＋1，当 n＝1时，a1＝S1＝3；当 n≥2

时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为 an＝

5．已知数列{an}的前 n项和 Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前 n项和 Tn＝2－bn．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)设cn＝a·bn，证明：当且仅当 n≥3时，cn＋1＜cn．

5．解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝4．

对于 n≥2，有 an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n．又当 n＝1时，a1＝4适合上式，

故{an}的通项公式 an＝4n．将 n＝1代入 Tn＝2－bn，得 b1＝2－b1，故 T1＝b1＝1．

对于 n≥2，由 Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn，得 bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，bn＝bn－1，

所以数列{bn}是以 1为首项，为公比的等比数列，故 bn＝21－n．

(2)法一　由 cn＝a·bn＝n225－n，得＝2．

当且仅当 n≥3 时，1＋≤＜，即<1，即 cn＋1＜cn．

法二　由 cn＝a·bn＝n225－n，得 cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]．

当且仅当 n≥3 时，cn＋1－cn＜0，即 cn＋1＜cn．

考点二　由 a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an型

【基本方法】

已知 Sn求an的方法

已知 a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)求an的常用方法是利用 an＝主要分三个步骤完成：

(1)当n＝1时，求得 a1＝f(1)；

(2)当n≥2时，在 a1＋a2＋a3＋…＋an＝f(n)中用 n－1替换 n得到一个新的关系式 a1＋a2＋a3＋…＋an－

1＝f(n－1)，两式相减得到 an＝f(n)－f(n－1) (n≥2)，便可求出当 n≥2，n∈N*时的通项公式；

(3)检查 a1是否符合 n≥2 时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成 an＝f(n)－f(n－

1)；否则应写成分段的形式，即 an＝

【基本题型】

[例2] (1)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝n　　　　　B．an＝n2　　　　　C．an＝　　　　　D．an＝

答案　B　解析　当n＝1时，＝＝1，a1＝1．当 n≥2 时，∵＋＋…＋＝，∴＋＋…＋＝，两式相减得

＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①，又当 n＝1时，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*．故选 B．

(2)已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则 an＝________．

答案　　解析　当n＝1时，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①，故 a1＋2a2＋3a3＋…＋(n

－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②，由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝(n≥2)．显然当 n＝1时不满足上式，

∴an＝

[例3]　记m＝，若{dn}是等差数列，则称 m为数列{an}的“dn等差均值”；若{dn}是等比数列，则称

m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为 2，数列{bn}的“3n－1等比均值”

为3．记 cn＝＋klog3bn，数列{cn}的前 n项和为 Sn，若对任意的正整数 n都有 Sn≤S6，求实数 k的取值范围．

解析　由题意得 2＝，所以 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

所以 a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－2(n≥2，n∈N＋)，

两式相减得 an＝(n≥2，n∈N＋)．

当n＝1时，a1＝2，符合上式，所以 an＝(n∈N＋)．

又由题意得 3＝，所以 b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，

所以 b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N＋)，

两式相减得 bn＝32－n(n≥2，n∈N＋)．

当n＝1时，b1＝3，符合上式，所以 bn＝32－n(n∈N＋)．

所以 cn＝(2－k)n＋2k－1．

因为对任意的正整数 n都有 Sn≤S6，所以解得≤k≤，

所以实数 k的取值范围为．

【对点精练】

1．已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．

1．答案　an＝　解析　已知 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋1，将 n＝1代入，得 a1＝2；当 n≥2

时，将 n－1代入得 a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n，两式相减得 nan＝(n＋1)－n＝1，∴an＝，∴an

＝

2．设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则 an＝________．

2．答案　　解析　当n＝1时，a1＝21＝2．∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①，∴a1＋3a2

＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，②，由①－②得，(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝(n≥2)．显然 n＝1

时不满足上式，∴an＝

3．已知数列{an}满足 2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，则{an}的通项公式是________．

3．答案　an＝·2n　解析　因为数列{an}满足 2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝4n－1，所以当 n＝1时，2a1＝4

－1，解得 a1＝；当 n≥2 时，2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝4n－1－1，与题目条件中的等式相减，得到

2nan＝4n－4n－1，整理得 an＝·2n，该表达式对 n＝1也成立，所以数列{an}的通项公式为 an＝·2n．

考点三　由 f(an，Sn)＝0消去 Sn型

【基本方法】

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