《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题02 数列中的最值问题(解析版)

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专题 02　数列中的最值问题

考点一　数列的最大(小)项

【基本方法】

求数列的最大项与最小项的常用方法

(1)将数列视为函数 f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据 f(x)的类型作出相应的函数图象，或利

用求函数最值的方法，求出 f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；

(2)通过通项公式 an研究数列的单调性，若有 an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则 an＋1＞an，则数列{an}是

递增数列，所以数列{an}的最小项为 a1＝f(1)；若有 an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则 an＋1＜an，则数列{an}

是递减数列，所以数列{an}的最大项为 a1＝f(1)．若不单调利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项；

【基本题型】

[例1](1)数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是____________．

答案　30　解析　an＝－n2＋11n＝－2＋，∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值 30．

(2)数列{an}的通项 an＝，则数列{an}中的最大项是(　　)

A．3　　　　　　　　B．19　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　C　解析　令f(x)＝x＋(x＞0)，运用基本不等式得 f(x)≥6，当且仅当 x＝3时等号成立．因为 an

＝，所以≤，由于 n∈N*，不难发现当 n＝9或n＝10 时，an＝最大．

(3)若数列{an}中，an＝，n∈N*，则数列{an}中的项的最小值为________．

答案　4　解析　an＋1－an＝－＝，当 n≥2时，an＋1－an>0，即 an＋1>an，当 n＝1时，a2－a1<0，∴数列

{an}中，从 a2开始是递增的，又 a2<a1，∴{an}中最小项是 a2＝4．

(4)已知数列{an}的通项公式为 an＝nn，则数列{an}中的最大项为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　　解析　法一　(作差比较法)：an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝·n，当 n<2 时，an＋1－an>0，即 an＋

1>an；当 n＝2时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an；当 n>2 时，an＋1－an<0，即 an＋1<an．所以 a1<a2＝

a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为 a2或a3，且 a2＝a3＝2×2＝．故选 A．

法二　(作商比较法)：＝＝，令>1，解得 n<2；令＝1，解得 n＝2；令<1，解得 n>2．又 an>0，故

a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为 a2或a3，且 a2＝a3＝2×2＝．故选 A．

(5)若数列{n(n＋4)()n}中的最大项是第 k项，则 k＝________．

答案　4　解析　由题意得所以由 k∈N*可得 k＝4．

(6)数列{an}的通项为 an＝(n∈N*)，若 a5是{an}中的最大值，则 a的取值范围是________．

答案　[9，12]　解析　当n≤4 时，an＝2n－1单调递增，因此 n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15．当

n≥5 时，an＝－n2＋(a－1)n＝－2＋．∵a5是{an}中的最大值，∴解得 9≤a≤12．∴a的取值范围是[9，12]．

(7)已知数列{an}满足 a1＝28，＝2，则的最小值为(　　)

A．　　　　　　　　B．4－1　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　C　解析　由an＋1－an＝2n，可得 an＝n2－n＋28，∴＝n＋－1，设 f(x)＝x＋，可知 f(x)在(0，]

上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，又 n∈N*，且＝<＝，故选 C．

[例2]　已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且 a≠0)．

(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

(2)若对任意的 n∈N*，都有 an≤a6成立，求 a的取值范围．

解析　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且 a≠0)，又 a＝－7，∴an＝1＋．

结合函数 f(x)＝1＋的单调性，可知 1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．

∴数列{an}中的最大项为 a5＝2，最小项为 a4＝0．

(2)an＝1＋＝1＋．∵对任意的 n∈N*，都有 an≤a6成立，

结合函数 f(x)＝1＋的单调性，知 5<<6，∴－10<a<－8．故 a的取值范围为(－10，－8)．

[例3]　Sn是数列{an}的前 n项和，且 an－Sn＝n－n2．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝－5an，求数列{bn}中最小的项．

解析　(1)对任意的 n∈N*，由 an－Sn＝n－n2，得 an＋1－Sn＋1＝(n＋1)－(n＋1)2，

两式相减得 an＝n，因此数列{an}的通项公式为 an＝n．

(2)由(1)得bn＝2n－5n，则 bn＋1－bn＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5．

当n≤2时，bn＋1－bn<0，即 bn＋1<bn，∴b1>b2>b3；

当n≥3时，bn＋1－bn>0，即 bn＋1>bn，∴b3<b4<b5<…，

所以数列{bn}的最小项为 b3＝23－5×3＝－7．

【对点精练】

1．若数列{an}的前 n项和 Sn＝n2－10n(n∈N＋)，则数列{nan}中数值最小的项是(　　)

A．第 2项　　　　　　B．第 3项　　　　　　C．第 4项　　　　　　D．第 5项

1．答案　B　解析　∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当 n＝1时，a1＝S1＝－9也适

合上式．∴an＝2n－11(n∈N＋)．记 f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线 n

＝，但 n∈N＋，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第 3项．

2．若数列{an}的通项公式为 an＝，则这个数列中的最大项是(　　)

A．第 12 项　　　　　　B．第 13 项　　　　　　C．第 14 项　　　　　　D．第 15 项

2．答案　C　解析　an＝＝，因为 n＋≥2＝28，当且仅当 n＝14 时，n＋有

最小值 28，所以当 n＝14 时，取得最大值．

3．已知数列的通项为 an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．

3．答案　5　解析　因为 an＝，数列{an}的最小项必为 an<0，即<0，3n－16<0，从而 n<，

又因为 n∈N*，且数列{an}的前 5项递减，所以 n＝5时，an的值最小．

4．已知数列{an}满足 a1>0，且 an＋1＝an，则数列{an}的最大项是(　　)

A．a1　　　　　　　　B．a9　　　　　　　　C．a10　　　　　　　　D．不存在

4．答案　A　解析　因为 a1>0，且 an＋1＝an，所以 an>0，所以＝<1，所以 an＋1<an，所以此

数列为递减数列，故最大项为 a1．

5．数列{an}的通项公式是 an＝(n＋2)n，那么在此数列中(　　)

A．a7＝a8最大　　B．a8＝a9最大　　C．有唯一项 a8最大　　D．有唯一项 a7最大

5．答案　A　解析　∵＝×，令≥1，即≥1，解得 n≤7．∴当n≤7 时，数列{an}

递增，当 n＞7时，数列{an}递减，即 a1＜a2＜…＜a7＝a8＞a9＞…所以 a7＝a8最大，故选 A．

6．在数列{an}中，an＝(n＋1)n，则数列{an}的最大项是第________项．

6．答案　6或7　解析　＝＝×≥1．得 n≤6，即当 n≤6时，an＋1≥an，当 n>6 时，

an＋1<an，∴a6或a7最大．

7．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－11n＋，a5是数列{an}的最小项，则实数 a的取值范围是(　　)

A．[－40，－25]　　　　B．[－40，0]　　　　C．[－25，25]　　　　D．[－25，0]

7．答案　B　解析　由已知条件得 a5是数列{an}的最小项，所以即

解得故选 B．

8．已知数列{an}的通项公式是 an＝n2＋kn＋4．

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)对于 n∈N*，都有 an＋1>an，求实数 k的取值范围．

8．答案　　解析　(1)由n2－5n＋4<0，解得 1<n<4．因为 n∈N*，所以 n＝2，3，

所以数列中有两项是负数，即为 a2，a3．因为 an＝n2－5n＋4＝2－，

由二次函数性质，得当 n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为 a2＝a3＝－2．

(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 an＝n2＋kn＋4，

可以看作是关于 n的二次函数，考虑到 n∈N*，所以－<，解得 k>－3．

所以实数 k的取值范围为(－3，＋∞)．

考点二　等差数列中与前 n项和 Sn相关的最值

【基本方法】

等差数列前 n项和 Sn的最值的常用方法

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn存在最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn存在最小值．

(1)函数法：利用等差数列前 n项和的函数表达式 Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数

的最值．

(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求 Sn的最值．

①当a1>0，d<0 时，满足的项数 m使得 Sn取得最大值为 Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)；

②当a1<0，d>0 时，满足的项数 m使得 Sn取得最小值为 Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值)．

【基本题型】

[例4](1)记Sn为等差数列{an}的前 n项和，已知 a1＝－7，S3＝－15，求 Sn取得最小值时 n的值为____

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