《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题一 任意角、弧度制及任意角的三角函数(原卷版)

3.0 envi 2025-03-06 4 4 134.01KB 5 页 3知币
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专题一　任意角、弧度制及任意角的三角函数
考点一　角的概念
【基本知识】
(1)
定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
　　　　
(3)终边相同的角：所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，构成的角的集合是 S＝{β|β＝k·360°＋
α，k∈Z}．
【例题选讲】
[例1] (1) 集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　B　解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时 α的终边和 0≤α≤的终边一样，当 k＝
2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时 α的终边和 π≤α≤π＋的终边一样．
(2) 若角 α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角　　　B．第二象限角　　　　C．第一或第三象限角　　　D．第二或第四象限角
答案　C　解析　∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z．当 k为偶数
时，是第一象限角；当 k为奇数时，是第三象限角．故选 C．
(3) 给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　C．3个　　　　　　　　D．4个
答案　　C解析　－是第三象限角，故①错误．＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－
360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
(4) 已知点 P(cos α，tan α)在第三象限，则角 α的终边在(　　)
A．第一象限　　　　　B．第二象限　　　　　C．第三象限　　　　　D．第四象限
答案　B　解析　由题意得⇒所以角 α的终边在第二象限．
(5) 在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为________．
答案　－675°或－315°　解析　所有与 45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－
720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－≤k<－(k∈Z)，从而 k＝－2或k＝－
1，代入得 β＝－675°或β＝－315°．
(6)终边在直线 y＝x上的角的集合为_________________________．
答案　　解析　终边在直线 y＝x上的角的集合为．
考点二　扇形的弧长及面积公式的应用
【基本知识】
(1)弧度制定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度．
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0．
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝ rad，1 rad＝°．
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2．
【例题选讲】
[例2] (1) 已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．1或4　　　　　　　　D．2或4
答案　A　解析　设此扇形的半径为 r，弧长为 l，则解得或从而 α＝＝＝4或α＝＝＝1．
(2) 若扇形的圆心角是 α＝120°，弦长 AB＝12 cm，则弧长 l＝________cm．
答案　π　解析　设扇形的半径为 r cm，如图．由 sin 60°＝，得 r＝4，又 α＝，所以 l＝|α|·r＝×4＝
π(cm)．
(3) 若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为(　　)
A．40π cm2　　　　　　B．80π cm2　　　　　　C．40 cm2　　　　　　D．80 cm2
答案　B　解析　∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)．
(4) 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角 α(0<α<π)的弧度数为________．
答案　　解析　设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 r，所以 r＝αr，∴α＝．
(5)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．
答案　1∶2　解析　设两个扇形的圆心角的弧度数为 α，半径分别为 r，R(其中 r＜R)，则＝，所以
r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2．
(6) 一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆
周长之比为________．
答案　　解析　设圆的半径为 r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为 α，则＝，∴α＝．∴扇形的弧
长与圆周长之比为＝＝．
考点三　三角函数的定义及应用
【基本知识】
(1)定义：设 α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝
(x≠0)．
(2)三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数 定义域 第一象
限符号
第二象
限符号
第三象
限符号
第四象
限符号
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