《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题五三角恒等变换(基础篇)(解析版)

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专题五三角恒等变换(基础篇)

考点一　公式的直接应用

【基本知识】

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))

tan(α－β)＝(T(α－β))

tan(α＋β)＝(T(α＋β))

2．二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝．

【方法总结】

直接应用应用公式化简求值的策略

(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．

(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．

(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．

[例1] (1) 已知 cos α＝，α∈，则 cos＝________．

答案　　解析　∵cos α＝，α∈，∴sin α＝＝，∴cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝．

(2)设角 θ的终边过点(2，3)，则 tan＝(　　)

A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．－5

答案　A　解析　由于角 θ的终边过点(2,3)，因此 tan θ＝，故 tan＝＝＝．

(3)已知 sin α＝，α∈，tan β＝－，则 tan(α－β)的值为(　　)

A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

答案　A　解析　因为 sin α＝，α∈，所以 cos α＝－＝－，所以 tan α＝＝－．所以 tan(α－β)＝＝

－．

(4) (2018·全国Ⅲ)若sin α＝，则 cos2α＝(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－

答案　B　解析　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝．

(5)若sin＝，且≤α≤π，则 sin 2α的值为(　　)

A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　B　解析　因为 sin(π－α)＝sinα＝，≤α≤π，所以 cosα＝－＝－，所以 sin2α＝2sinαcosα＝2××

＝－．

【对点训练】

1．已知 cos α＝，α∈，则 cos＝．

1．答案　　解析　因为 cos α＝，α∈，所以 sin α＝－，所以 cos＝cos αcos ＋sin

αsin ＝×＋×＝．

2．已知 sin α＝，α∈，则 cos 等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－

2．答案　B　解析　由题意可知 cos α＝，cos＝cos＝cos＝cos αcos＋sin αsin

＝×＋×＝．

3．已知 α为锐角，β为第三象限角，且 cos α＝，sin β＝－，则 cos(α－β)的值为(　　)

A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

3．答案　A　解析　∵α为锐角，且 cos α＝，∴sin α＝＝．∵β为第三象限角，且 sin β＝

－，∴cos β＝－＝－，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－．

4．已知 cos＝，则 cos α＋sin α的值为．

4．答案　　解析　因为 cos＝cos cos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，所以 cos α＋sin α＝．

5．若 tan＝，则 tan α＝________．

5．答案　　解析　tan α＝tan＝＝＝．

6．若 2sin x＋cos＝1，则 cos 2x＝(　　)

A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

6．答案　C　解析　因为 2sin x＋cos＝1，所以 3sin x＝1，所以 sin x＝，所以 cos 2x＝1－2sin2x＝．

7．若 tan＝4cos(2π－θ)，|θ|<，则 tan 2θ＝________．

7．答案　　解析　∵tan＝4cos(2π－θ)，∴＝4cos θ，又∵|θ|<，∴sin θ＝，∴0<θ<，cos

θ＝，tanθ＝＝，从而 tan 2θ＝＝．

8．若＝，则 cos 的值为(　　)

A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．

8．答案　A　解析　因为＝，所以＝，所以 cos α－sin α＝，平方得 1－2cos

αsin α＝，所以 sin 2α＝，所以 cos＝sin 2α＝．

9．已知 tan＝3，则 sin 2θ－2cos2θ＝．

9．答案　－　解析　由已知，得＝3，解得 tan θ＝．所以 sin 2θ－2cos2θ＝

＝＝＝－．

10．已知 sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________．

10．答案　5　解析　因为 sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以 sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin

β＝，所以 sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5．

11．已知 α为第二象限角，且 sin α＝，求的值．

11．解　原式＝＝．因为 α为第二象限角，且 sin α＝，

所以 sin α＋cos α≠0，cos α＝－，所以原式＝＝－．

12．已知 tan α＝2．

(1)求tan 的值；

(2)求的值．

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