《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题五三角恒等变换(方法篇)(解析版)

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专题五三角恒等变换(方法篇)

1．三角恒等变换的基本思想

三角恒等变换的基本思想是：高变低，复变单，多变一．

高变低就是高次的三角函数向低次的三角函数转化，特别是二次向一次转化；复变单就是复角的三

角函数向单角的三角函数转化；多变一就是多种三角函数向单一三角函数转化．

2．三角恒等变换的基本公式

同角三角函数基本关系；诱导公式；和角公式；差角公式；二倍角公式和变形公式．

3．三角恒等变换的基本方法

(1)变换函数角度：即分角变换．如 α＝(α＋β)－β＝＋＝(2α＋β)－(α＋β)；2α＝(α＋β)＋(α－β)等等．

(2)变换函数名称：即切化弦．主要用同角三角函数的商数关系 tanα＝．

(3)变换函数次数：即降幂与升幂．主要用降幂公式：cos2α＝，sin2α＝；升幂公式：1＋cos 2α＝

2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α．

(4)变换整个式子：将三角函数式

asin x＋bcos x

变形成

sin(x＋φ)

的形式，这里

被称为辅助角，其大

小由 tan

确定，它的象限由

，

的符号确定．主要用辅助角公式．有时还要逆用或变用公式．如两角和

的正切公式和余弦的二倍角公式．

(5)变换式子中的常量：即常量变换．如“1”的代换有：1＝sin2α＋cos2α，1＝tan45°等等．

考点一　变换角度

【方法总结】

变换角度的解题策略

已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关

系，即拆角与凑角．

(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”与特殊角的和或差的关系，然后

把“所求角”变成“已知角”．

(2)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的

变换有：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝＋＝(2α＋β)－(α＋β)；2α＝(α＋β)＋(α－β)；15°＝45°－30°；＋α＝

－等．

【例题选讲】

[例1] (1) ＝________．

答案　　解析　＝

＝＝＝sin 30°＝．

(2) 已知 sin＝－，α∈，则 cos α＝．

答案　　解析　∵α∈，∴α＋∈，∴cos＝＝＝，∴cosα＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝．

(3) 已知 α，β∈，且 sin α＝，cos(α＋β)＝－，则 cosβ＝．

答案　　解析　因为 α，β∈，所以 0<α＋β<π，由 cos(α＋β)＝－，得 sin(α＋β)＝，又 sin α＝，所以

cos α＝，所以 cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝．

(4) 已知<β<α<π，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则 cos 2α＝．

答案　－　解析　∵<β<α<π，∴－π<－β<－．∴0<α－β<，π<α＋β<π．∴sin(α－β)＝＝＝，cos(α＋

β)＝－＝－＝－．∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝×－×＝－，即

cos 2α＝－．

(5) 已知 sin＝，则 sin 2α的值为(　　)

A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．

答案　C　解析　∵2α＝2－，∴sin 2α＝sin＝－sin＝－cos 2＝－＝－＝－．

(6)已知 sin＝，那么 cos 等于(　　)

A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　A　解析　∵＋2α＝π－2，∴cos＝cos＝－cos 2＝－＝－＝－．

【对点训练】

1．(2019·全国Ⅰ)tan 255°等于(　　)

A．－2－　　　　　　B．－2＋　　　　　　C．2－　　　　　　D．2＋

1．答案　D　解析　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋

．

2．的值是(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．

2．答案　A　解析　原式＝＝

＝＝＝．

3．若 α∈(0，π)，且 cos＝，则 cos α等于(　　)

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．

3．答案　C　解析　因为 α∈(0，π)且cos＝，所以 sin＝．cosα＝cos＝×

＋×＝．

4．已知锐角 α，β满足 cos α＝，cos(α＋β)＝－，则 cos β的值为(　　)

A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－

4．答案　A　解析　因为 α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，所以 sin α＝，sin(α＋β)＝，所以

cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝．

5．若 tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则 tan α等于(　　)

A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．－1

5．答案　A　解析　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝．

6．已知 tan(α＋β)＝，tan＝，那么 tan 等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

6．答案　C　解析　tan＝tan＝＝．

7．已知 tan＝，tan＝－，则 tan＝(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

7．答案　C　解析　tan＝tan＝＝．

8．已知＝3，tan(α－β)＝2，则 tan(β－2α)＝________．

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